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設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,由解直角三角形易得三邊上的高h(yuǎn)a,hb,hc,根據(jù)面積公式,可以推導(dǎo)出另一面積公式. 由此公式,可以直接已知兩邊及夾角的三角形面積,并解決一些與面積相關(guān)的問(wèn)題. 一、應(yīng)用面積公式,推導(dǎo)正弦定理 例1設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,求證:. 證明:由三角形面積公式,得到, 即. 上式同時(shí)除以abc,得到. 所以,. 點(diǎn)評(píng):三角形面積公式由直角三角形的邊角關(guān)系表示出各邊上的高之后再推導(dǎo)出來(lái),再運(yùn)用它推導(dǎo)正弦定理,實(shí)質(zhì)就是教材中正弦定理推導(dǎo)過(guò)程的簡(jiǎn)化. 二、活用代數(shù)變形,推導(dǎo)海倫公式 例2 △ABC的三邊為a,b,c,設(shè),求證:. 證明:== = = = = = = . [!--empirenews.page--]點(diǎn)評(píng):此例的結(jié)論,就是海倫公式,可以由三角形的三邊a、b、c直接求出三角形的面積. 海倫公式據(jù)說(shuō)是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的,但較早出現(xiàn)于古希臘數(shù)學(xué)家海倫(Heron)的著作《測(cè)地術(shù)》中,公式的形式漂亮,且便于記憶. 我國(guó)大數(shù)學(xué)家秦九韶在也發(fā)現(xiàn)與海倫公式本質(zhì)上相同的“三斜求積”公式,并記載于他寫(xiě)的《數(shù)書(shū)九章》中. 如果由三角形面積和,得,,根據(jù),整理后也可得到海倫公式. 三、結(jié)合面積公式,研究三角問(wèn)題 例3 在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c. (1)若a=4,b=5,S=5,求c的長(zhǎng)度; (2)若三角形的面積S=,求∠C的度數(shù); (3)若a、b、c成等比數(shù)列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值. 解:(1)∵S=absinC,∴sinC=,于是∠C=60°或∠C=120°. 又∵c2=a2+b2-2abcosC, 當(dāng)∠C=60°時(shí),c2=a2+b2-ab,c=; 當(dāng)∠C=120°時(shí),c2=a2+b2+ab,c=. ∴ c的長(zhǎng)度為或. (2)由S=,得absinC=. ∴ tanC=1,得C=. [!--empirenews.page--](3)∵a、b、c成等比數(shù)列,∴b2=ac. 又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中,由余弦定理得 cosA===,∴∠A=60°. 在△ABC中,由面積公式得bcsinA=acsinB. ∴ bcsinA=b2sinB, 則=sinA=. 點(diǎn)評(píng):解三角形時(shí),需認(rèn)真分析題中已知條件中邊與角之間的關(guān)系,根據(jù)條件合理選用正弦定理或余弦定理,結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解決問(wèn)題. 四、綜合面積公式,探討數(shù)學(xué)領(lǐng)域 例4 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2,BC=6,CD=DA=4. 求四邊形ABCD的面積. 解:如圖,連結(jié)BD,則四邊形面積 S=S△ABD+S△CBD=AB·ADsinA+BC·CDsinC ∵ A+C=180°, ∴sinA=sinC, ∴ S=(AB·AD+BC·CD)·sinA=16sinA. 在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+42-2·2·4cosA=20-16cosA. [!--empirenews.page--]在△CDB中,BD2=52-48cosC, ∴20-16cosA=52-48cosC. 又cosC=-cosA,∴cosA=-, ∴A=120°,得S=16sinA=8. 點(diǎn)評(píng):在印度婆羅摩笈多(約593-665后)的書(shū)中,出現(xiàn)了有圓內(nèi)接四邊形的求積公式(其中a,b,c,d為四邊形的四條邊,p為四邊形的周長(zhǎng)之半). 當(dāng)d=0時(shí),這個(gè)公式即為海倫公式. 推廣到任意四邊形,則得到婆羅摩笈多公式. 三角形的面積公式有許多,例如已知三角形的三邊a、b、c及外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R,r,則有S△=abc/4R與. 又如,在△ABC中,若=(),= (),則△ABC的面積為S=. 此三角形面積的向量公式可如下證明. 證明:
由上例公式,不必求三角形的邊長(zhǎng)和角度,只要知道任意兩邊所對(duì)應(yīng)的向量即可,而其向量在已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)不難求得. 由此,我們知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),也可以得到如下面積公式. , ,則
= . 以上我們探討了各面積公式之間的相互聯(lián)系,靈活運(yùn)用三角形的面積公式,能幫助我們解決許多解三角形的問(wèn)題. |