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6. 已知函數(shù)f(x)=--sin2x+sinxcosx
(Ⅰ)求f(-)的值;
(Ⅱ)設(shè)α∈(0,π),f(-)=---,sinα的值。
解:(Ⅰ)化簡(jiǎn)f(x),f(x)=-cos2x+-sin2x--
=sin(2x+-)--
f(-)=sin---=0
解:(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--
=---,
∴sin(α+-)=-
-sinα+-cosα=-
sinα+-cosα=-
-cosα=--sinα
兩邊平方整理關(guān)于sinα的二次方程:
16sin2α-4sinα-11=0
∵α∈(0,π)
∴sinα=-
注:在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)及研究三角函數(shù)的性質(zhì)中,公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ),tanφ=-ba,起著重要的作用。
(二)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
復(fù)習(xí)導(dǎo)引:這一部分是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。三角函數(shù)的研究?jī)?nèi)容與方法既具有一般函數(shù)性質(zhì),又有其特殊的性質(zhì),周期性突顯出來(lái),如第3、9題,從圖象角度審視,軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、成為擬題的載體,如第4、5、6、11題。
1. 設(shè)函數(shù)f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0,α∈R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的先進(jìn)個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-。
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間[--,-]上的較小值為-,求α的值。
解:(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α
=--+-sin2ωx+α
=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-
=sin(2ωx+-)+α+-
2ω·■+-=-,ω=-
(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-
--≤x≤-
0≤x+-≤-
fmin(x)=f(-)=--+α+-=-
∴α=-+-
2. 如圖,函數(shù)y=2sin(πx+φ),(x∈R),(其中0≤φ≤-)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,1)。
(Ⅰ)求φ的值;
(Ⅱ)設(shè)p是圖象上的較高點(diǎn),M、N是圖象與x軸的交點(diǎn),求-與-的夾角。
解:(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1,sinφ=-
0≤φ≤- ∴φ=-
(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)
∵P為較高點(diǎn)
∴πx+-=-,x=-,Q(-,0)
f(x)周期T=-=2,-=1,|MN|=1,|NQ|=-,|PQ|=2,tanα=-
cos2α=-=-
∴-與-的夾角是arccos-
3. 已知函數(shù)f(x)=Asin2(ωx+φ),(A>0,ω>0,0<φ<-),且y=f(x)的較大值為2,其圖象相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸的距離為2,并過(guò)點(diǎn)(1,2)。
(1)求φ;
(2)f(1)+f(2)+…+f(2008)。
解:(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)
fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2
由已知,T=4=-,ω=-
f(x)=1-cos(-x+2φ)
f(1)=1-cos(-+2φ)=2
∴sin2φ=1 0<φ<-
∴φ=-
∴f(x)=sin(-x)+1
(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2
f(2)=sinπ+1=1
f(3)=sin-+1=0
f(4)=sin2π+1=1
又f(n)是以4為周期的函數(shù)
-=502
∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008
4. 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-。
(Ⅰ)求φ;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切。
解:(Ⅰ)∵x=-為f(x)對(duì)稱(chēng)軸,
∴sin(2×■+φ)=±1.
∴sin(-+φ)=±1,-π<φ<0
∴-+φ=--,φ=--
∴f(x)=sin(2x--)
解:(Ⅱ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
2kπ--≤2x--≤2kπ+-,k∈Z
kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z
證明:(Ⅲ)5x-2y+c=0,斜率k=-
f(x)=sin(2x--)
k'=f'(x)=2cos(2x--)
|k'|≤2
∵k≠|(zhì)k'| ∴不能相切
注:本題闡述了三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱(chēng)求解析式的方法。
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