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08年高考數(shù)學(xué)備考:三角函數(shù)專題熱點(diǎn)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

2008-01-28 09:25:33  來(lái)源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:張鼎言

  8. 若0

  A. sinx<-x

  B. sinx>-x

  C. sinx<-x2

  D. sinx>-x2

  解:用特殊值法,令x=-,sin-=-,-g-=-,-g-=-

  排除A、B、C,選D。

  本題也可用g(x)=sinx--x,H(x)=sinx--x2

  用求導(dǎo)的方法對(duì)g(x)、H(x)進(jìn)行分析。

  注:本題不等式左邊是三角函數(shù)(屬超越函數(shù)),右邊是代數(shù)函數(shù),用初等方法無(wú)法解決。

  9. 已知函數(shù)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-,x∈R(其中ω>0)。

  (1)求函數(shù)f(x)的值域;

  (2)若對(duì)任意的a∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(a,a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定ω的值(不必證明),并求函數(shù)y=f(x),x∈R的單調(diào)區(qū)間。

  解:(1)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-

  =-sinωx-cosωx-1

  =2sin(ωx--)-1

  ∴-3f(x)1

  分析:(2)把f(x)的圖像作一個(gè)簡(jiǎn)單的類比,相當(dāng)于y=sinx在(0,2π]內(nèi)在直線y=0交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩個(gè),且僅是兩個(gè)。

  而(α,α+π]是長(zhǎng)度為π的左開右閉區(qū)間,

  ∴f(x)的周期為π

  ∴-=π→ω=2

  ∴f(x)=2sin(2x--)-1

  其單調(diào)增區(qū)間為2kπ--2x--2kπ+-

  kπ--xkπ+-

  注:本題(2)是由圖像的特征確定周期,類比可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

  10. 將函數(shù)y=sinωx(ω>0)的圖像按向量α=(--,0)平移,平移后的圖像如圖所示,則平移后的圖像所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是( )

  A. y=sin(x+-)

  B. y=sin(x--)

  C. y=sin(2x+-)

  D. y=sin(2x--)

  解:y=sinωx按-=(--,0)平移后,得y=sinω(x+-)

  sinω(-+-)=-1

  由圖像ω(-+-)=-,ω=2

  ∴y=sin(2x+-),選C

  11. 設(shè)函數(shù)f(x)=-·(-+-),其中向量-=(sinx,-cosx),-=(sinx,-3cosx),-=(-cosx,sinx),x∈R

  (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的較大值和較小值的正周期;

  (Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖像按向量-平移,使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,求長(zhǎng)度較小的-。

  解:(Ⅰ)由已知f(x)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,-3cosx+sinx)

  =cos2x-sin2x+2=-cos(2x+-)+2

  fmax(x)=-+2,T=π

  (Ⅱ)∵平移后圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,圖象先向下平移2個(gè)單位

  φ(x)=cos[2(x+φ)+-],φ(0)=0

  ∴cos(2φ+-)=0,2φ+-=kπ+-

  φ=-+-,當(dāng)k=0,|φ|較小

  ∴φ=-

  -=(--,-2)

  (三)解三角形

  復(fù)習(xí)導(dǎo)引:正、余弘定理的重要作用是“邊”與“內(nèi)角的函數(shù)”的轉(zhuǎn)化,如第4、5、6題。第2、3題提供了兩條重要的思考方法。在三角形面積問(wèn)題中較常用的公式是SVABC=-bcsinA,如第7、8題。在解三角形時(shí),隨時(shí)注意內(nèi)角的變化范圍,在第2、6題中都有體現(xiàn)。

  1. 2002年在北京召開的數(shù)學(xué)家大會(huì),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的。弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形。如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,那么cos2θ的值等于______________。

  分析:考查圖形,由四個(gè)直角三角形全等,在同一個(gè)直角三角形內(nèi),兩條直角邊的差是1,又斜邊是5,由此勾3,股4,弦5。

  ∴sinθ=-,cosθ=-,∴cos2θ=-

  2. 如果VA1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于VA2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則( )

  A. VA1B1C1和VA2B2C2都是銳角三角形

  B. VA1B1C1和VA2B2C2都是鈍角三角形

  C. VA1B1C1是鈍角三角形,VA2B2C2是銳角三角形

  D. VA1B1C1是銳角三角形,VA2B2C2是鈍角三角形

  解:VA1B1C1三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,VA1B1C1為銳角三角形,假定VA2B2C2也為銳角三角形,

  sinA2=cosA1=sin(--A1)→A2=--A1,

  同理B2=--B1,C2=--C1

  A2+B2+C2=--(A1+B1+C1)=-(矛盾)

  ∴VA2B2C2為鈍角三角形,選D

  3. 設(shè)P是VABC所在平面上一點(diǎn),SVABC表示VABC的面積,λ1=-,λ2=-,λ3=- ,定義p(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是VABC的重點(diǎn),f(Q)=(-,-,-),則( )

  A. 點(diǎn)Q在VGAB內(nèi)

  B. 點(diǎn)Q在VGBC內(nèi)

  C. 點(diǎn)Q在VGCA內(nèi)

  D. 點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合

  解:假定VABC為正三角形,則f(G)=(-,-,-)

  -=-,點(diǎn)Q在過(guò)G點(diǎn)平行于邊AC的直線lAC上,-=->-,點(diǎn)Q又在平行于邊BC的直線lBC上。lAC與lBC交于點(diǎn)Q,Q在VGAB內(nèi),選A

  注:用“特殊三角形”,令VABC是正三角形,簡(jiǎn)化思考。

  4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC頂點(diǎn)A(-4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓-+-=1上,則-=_____________

  解:由橢圓方程 a'=5,b'=3,c'=4

  ∴A、C為橢圓焦點(diǎn),B在橢圓上:

  由正弦定理-=-=-=-,(a、b、c為△ABC三條邊)

  5 設(shè)a、b、c分別為VABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,則a2=b(b+c)是A=2B的( )

  (A)充要條件

  (B)充分而不必要條件

  (C)必要而不充分條件

  (D)既不充分也不必要條件

  答案:A

  6.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2bsinA

  (1)求B的大小;

  (2)求cosA+sinC的取值范圍。

  解:(1)a=2bsinA,sinA=2sinBgsinA

  ∴sinB=-,0°

  (2)cosA+sinC=cosA+sin[180°-(A+30°)]

  =cosA+sin(A+30°)

  =-sinA+-cosA

  =-(sinA+-cosA)

  =-sin(A+60°)

  ∵A+B>90°

  ∴A>60°,∴120°

  ∴-<-sin(A+60°)<-

  注:解三角形,A,B,C是三角內(nèi)角,充分注意角的變化范圍。

  7.如圖,已知VABC邊長(zhǎng)為l的正三角形,M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn),線段MN經(jīng)過(guò)VABC的中心G,設(shè)∠MGC=α(-α-)

  (1)試將VAGM、VAGN的面積(分別記為S1與S2)表示為α的函數(shù)

  (2)求y=-+-的較大值與較小值

  解:(Ⅰ)在VAGM中,由正弦定理:[!--empirenews.page--]

  -=-

  其中∠MAG=30°,

  ∠AMG=180°-(30°+α),

  AG=-·■=-,GM=-

  同理,在VAGN中,GM=-

  S1=-AG·GMsinα=-

  S2=-AG·GNsin(180°-α)=-

  (Ⅱ)y=-+-=-

  =72(3+cot2α)

  ∵-α-

  ∴--cotα-,0cot2α-

  ∴ymin=216,ymax=240

  8. 已知VABC的面積為3,且滿足0-g-6。設(shè)-和-的夾角為θ

  (1)求θ的取值范圍;

  (2)求函數(shù)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ的較大值與較小值。

  解:(1)SVABC=-bcsinθ=3,bc=-

  由已知0-g-6,0cotθ1

  ∴-θ-

  (2)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ

  =1-cos(-+2θ)--cos2θ

  =sin2θ--cos2θ+1

  =2sin(2θ--)+1

  由(1)-2θ---

  -sin(2θ--)1

  ∴fmax(θ)=3,fmin(θ)=2,

  此時(shí)分別為θ=-,θ=-

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