08年高考數(shù)學(xué)備考：三角函數(shù)專題熱點(diǎn)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　8. 若0

　　A. sinx<-x

　　B. sinx>-x

　　C. sinx<-x2

　　D. sinx>-x2

　　解：用特殊值法，令x=-，sin-=-，-g-=-，-g-=-

　　排除A、B、C，選D。

　　本題也可用g(x)=sinx--x，H(x)=sinx--x2

　　用求導(dǎo)的方法對(duì)g(x)、H(x)進(jìn)行分析。

　　注：本題不等式左邊是三角函數(shù)(屬超越函數(shù))，右邊是代數(shù)函數(shù)，用初等方法無(wú)法解決。

　　9. 已知函數(shù)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-，x∈R(其中ω>0)。

　　(1)求函數(shù)f(x)的值域；

　　(2)若對(duì)任意的a∈R，函數(shù)y=f(x)，x∈(a，a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定ω的值(不必證明)，并求函數(shù)y=f(x)，x∈R的單調(diào)區(qū)間。

　　解：(1)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-

　　=-sinωx-cosωx-1

　　=2sin(ωx--)-1

　　∴-3f(x)1

　　分析：(2)把f(x)的圖像作一個(gè)簡(jiǎn)單的類比，相當(dāng)于y=sinx在(0，2π]內(nèi)在直線y=0交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩個(gè)，且僅是兩個(gè)。

　　而(α，α+π]是長(zhǎng)度為π的左開右閉區(qū)間，

　　∴f(x)的周期為π

　　∴-=π→ω=2

　　∴f(x)=2sin(2x--)-1

　　其單調(diào)增區(qū)間為2kπ--2x--2kπ+-

　　kπ--xkπ+-

　　注：本題(2)是由圖像的特征確定周期，類比可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

　　10. 將函數(shù)y=sinωx(ω>0)的圖像按向量α=(--，0)平移，平移后的圖像如圖所示，則平移后的圖像所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是( )

　　A. y=sin(x+-)

　　B. y=sin(x--)

　　C. y=sin(2x+-)

　　D. y=sin(2x--)

　　解：y=sinωx按-=(--，0)平移后，得y=sinω(x+-)

　　sinω(-+-)=-1

　　由圖像ω(-+-)=-，ω=2

　　∴y=sin(2x+-)，選C

　　11. 設(shè)函數(shù)f(x)=-·（-+-)，其中向量-=(sinx，-cosx)，-=(sinx，-3cosx)，-=(-cosx，sinx)，x∈R

　　(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的較大值和較小值的正周期；

　　(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖像按向量-平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度較小的-。

　　解：(Ⅰ)由已知f(x)=(sinx，-cosx)·（sinx-cosx，-3cosx+sinx)

　　=cos2x-sin2x+2=-cos(2x+-)+2

　　fmax(x)=-+2，T=π

　　(Ⅱ)∵平移后圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，圖象先向下平移2個(gè)單位

　　φ(x)=cos[2(x+φ)+-]，φ(0)=0

　　∴cos(2φ+-)=0，2φ+-=kπ+-

　　φ=-+-，當(dāng)k=0，|φ|較小

　　∴φ=-

　　-=(--，-2)

　　(三)解三角形

　　復(fù)習(xí)導(dǎo)引：正、余弘定理的重要作用是“邊”與“內(nèi)角的函數(shù)”的轉(zhuǎn)化，如第4、5、6題。第2、3題提供了兩條重要的思考方法。在三角形面積問(wèn)題中較常用的公式是SVABC=-bcsinA，如第7、8題。在解三角形時(shí)，隨時(shí)注意內(nèi)角的變化范圍，在第2、6題中都有體現(xiàn)。

　　1. 2002年在北京召開的數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的。弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形。如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于______________。

　　分析：考查圖形，由四個(gè)直角三角形全等，在同一個(gè)直角三角形內(nèi)，兩條直角邊的差是1，又斜邊是5，由此勾3，股4，弦5。

　　∴sinθ=-，cosθ=-，∴cos2θ=-

　　2. 如果VA1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于VA2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則( )

　　A. VA1B1C1和VA2B2C2都是銳角三角形

　　B. VA1B1C1和VA2B2C2都是鈍角三角形

　　C. VA1B1C1是鈍角三角形，VA2B2C2是銳角三角形

　　D. VA1B1C1是銳角三角形，VA2B2C2是鈍角三角形

　　解：VA1B1C1三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，VA1B1C1為銳角三角形，假定VA2B2C2也為銳角三角形，

　　sinA2=cosA1=sin(--A1)→A2=--A1，

　　同理B2=--B1，C2=--C1

　　A2+B2+C2=--(A1+B1+C1)=-(矛盾)

　　∴VA2B2C2為鈍角三角形，選D

　　3. 設(shè)P是VABC所在平面上一點(diǎn)，SVABC表示VABC的面積，λ1=-，λ2=-，λ3=- ，定義p(P)=(λ1，λ2，λ3)，若G是VABC的重點(diǎn)，f(Q)=(-，-，-)，則( )

　　A. 點(diǎn)Q在VGAB內(nèi)

　　B. 點(diǎn)Q在VGBC內(nèi)

　　C. 點(diǎn)Q在VGCA內(nèi)

　　D. 點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合

　　解：假定VABC為正三角形，則f(G)=(-，-，-)

　　-=-，點(diǎn)Q在過(guò)G點(diǎn)平行于邊AC的直線lAC上，-=->-，點(diǎn)Q又在平行于邊BC的直線lBC上。lAC與lBC交于點(diǎn)Q，Q在VGAB內(nèi)，選A

　　注：用“特殊三角形”，令VABC是正三角形，簡(jiǎn)化思考。

　　4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(-4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓-+-=1上，則-=_____________

　　解：由橢圓方程 a'=5，b'=3，c'=4

　　∴A、C為橢圓焦點(diǎn)，B在橢圓上：

　　由正弦定理-=-=-=-，(a、b、c為△ABC三條邊)

　　5 設(shè)a、b、c分別為VABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，則a2=b(b+c)是A=2B的( )

　　(A)充要條件

　　(B)充分而不必要條件

　　(C)必要而不充分條件

　　(D)既不充分也不必要條件

　　答案：A

　　6.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA

　　(1)求B的大小；

　　(2)求cosA+sinC的取值范圍。

　　解：(1)a=2bsinA，sinA=2sinBgsinA

　　∴sinB=-，0°

　　(2)cosA+sinC=cosA+sin[180°-(A+30°）]

　　=cosA+sin(A+30°）

　　=-sinA+-cosA

　　=-(sinA+-cosA)

　　=-sin(A+60°）

　　∵A+B>90°

　　∴A>60°，∴120°

　　∴-<-sin(A+60°）<-

　　注：解三角形，A，B，C是三角內(nèi)角，充分注意角的變化范圍。

　　7.如圖，已知VABC邊長(zhǎng)為l的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)VABC的中心G，設(shè)∠MGC=α(-α-)

　　(1)試將VAGM、VAGN的面積(分別記為S1與S2)表示為α的函數(shù)

　　(2)求y=-+-的較大值與較小值

　　解：(Ⅰ)在VAGM中，由正弦定理：[!--empirenews.page--]

　　-=-

　　其中∠MAG=30°，

　　∠AMG=180°-(30°+α)，

　　AG=-·■=-，GM=-

　　同理，在VAGN中，GM=-

　　S1=-AG·GMsinα=-

　　S2=-AG·GNsin(180°-α)=-

　　(Ⅱ)y=-+-=-

　　=72(3+cot2α)

　　∵-α-

　　∴--cotα-，0cot2α-

　　∴ymin=216，ymax=240

　　8. 已知VABC的面積為3，且滿足0-g-6。設(shè)-和-的夾角為θ

　　(1)求θ的取值范圍；

　　(2)求函數(shù)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ的較大值與較小值。

　　解：(1)SVABC=-bcsinθ=3，bc=-

　　由已知0-g-6，0cotθ1

　　∴-θ-

　　(2)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ

　　=1-cos(-+2θ)--cos2θ

　　=sin2θ--cos2θ+1

　　=2sin(2θ--)+1

　　由(1)-2θ---

　　-sin(2θ--)1

　　∴fmax(θ)=3，fmin(θ)=2，

　　此時(shí)分別為θ=-，θ=-

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