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08高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):平面向量解題要點(diǎn)與應(yīng)用

2008-02-01 09:38:10  來(lái)源:每日新報(bào) 文章作者:賈魯津

  平面向量這一章內(nèi)容本身兼有代數(shù)、幾何雙重特點(diǎn),而又完全有別于孩子多年來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所接觸到的代數(shù)運(yùn)算和幾何證明,因此,多數(shù)同學(xué)對(duì)本章問(wèn)題感到既抓不住重點(diǎn),也找不到規(guī)律,因此很困惑,甚者發(fā)憷。比較近幾年數(shù)學(xué)高診斷卷中的平面向量題目,不難發(fā)現(xiàn)其中的幾個(gè)突出變化: 1.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)覆蓋面越來(lái)越全;2.與其他章節(jié)知識(shí)的交匯越來(lái)越多樣,也越來(lái)越深入;3.題目所在檔次有所提高,拿到相關(guān)分?jǐn)?shù)的難度越來(lái)越大。如此,就增加了孩子準(zhǔn)備的難度。在順利完成基本概念和基本運(yùn)算復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上,我給孩子提出了“三大線索,兩大技巧”的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。三大線索即:向量形式、坐標(biāo)形式、幾何意義。兩大技巧為:抓“基底”、升次數(shù)。下面就以向量與其他章節(jié)的綜合為主線,和同學(xué)們一起回顧一下主要內(nèi)容及其應(yīng)用。

  一、基本類:

  1.已知-=(1,2),-=(-3,2),若(k-+-)⊥(--3-)則k=_______,

  若(k-+-)//(--3-),則k=____

  答案:19,--。公式基本應(yīng)用,無(wú)需解釋。

  2.已知向量-=(cos,sin),向量-=(2-,-1)則|3---|的較大值為 解:(3a-b)2=(3cosθ-2-, 3sinθ+1) (3cosθ-2-, 3sinθ+1)

  =(3cosθ-2-) 2+(3sinθ+1)2

  =9cos2θ-12-cosθ+8+9sin2θ+1+6sinθ

  =18+6sinθ-12-cosθ

  ≤18+-=18+18=36

  ∴|3a-b|max=6

  點(diǎn)評(píng):本題雖然是道小的綜合題,但是向量中的升次技巧還是十分突出的,“見(jiàn)模平方”已是很多老師介紹給同學(xué)的一大法寶。不過(guò)升次的另外一種途徑,就是同時(shí)點(diǎn)乘向量。

  二、向量與三角知識(shí)綜合:

  3.設(shè)-=(1+cos,sin),-=(1-cos,sin),-=(1,0),∈(0,),∈(,2)-,-的夾角為θ1,-,-的夾角為θ2,且θ1-θ2=-,求sin-的值。

  解:-·■=1+cos

  -·■=1-cos

  |-|2=2+2cos=4cos2- |-|2=2-2cos=4sin2- |-|=1

  ∵-∈(0,- ) -∈(-,)

  ∴|-|=2cos- |-|=2sin-

  又-·■=|-| |-|cosθ1

  ∴1+cos=2cos-cosθ1

  2cos2-=2cos-·cosθ1

  ∴cosθ1=cos- ∴θ1=-

  同理-·■=|-| |-|cosθ2

  ∴sin-=cosθ2

  ∴cos(---)=cosθ2

  ∴---=θ2

  ∴θ1-θ2=-+-=-

  ∴-=--

  ∴sin-=--

  三、向量與函數(shù)、不等式知識(shí)綜合:

  4.已知平面向量-=(-,1), -=(-,-),若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k,t,使-=-+(t2-3)-,-=-k-+t-,且-⊥-.(1)試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)求使f(t)>0的t的取值范圍.

  解:(1)由題知-·■=0,|-|2=4 |-|2=1

  -·■=-k-2+t-·■+t(t3-3)-2-k(t2-3)-·■=-4k+t(t2-3)=0

  ∴k=-(t3-3t)即f(t)=-(t3-3t)

  (2)f’(t)=-(3t2-3)=-(t2-1)

  -

  令f(t)=0 ∴t1=0 t2=-- t3=-

  由圖可知

  t∈(--,0)∪(-,+∞)

  四、用向量的知識(shí)解決三角形四邊形中的問(wèn)題。(與平面幾何的交匯是近幾年診斷的熱點(diǎn))

  溫馨提示:據(jù)以下問(wèn)題,同學(xué)們可以歸納一些常見(jiàn)結(jié)論,如與內(nèi)心、外心、垂心、重心、中線、角分線、高線、共線、垂直等相關(guān)的結(jié)論。

  5.O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足 -=-+(-+-)·∈(0,+∞)。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )

  A.外心 B.內(nèi)心

  C.重心 D.垂心

  答案:B

  6.設(shè)平面內(nèi)有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(---)與(-+--2-)的內(nèi)積等于零,則△ABC的形狀為( )

  (A)直角三角形

  (B)等腰三角形

  (C)等腰直角三角形

  (D)等邊三角形

  答案:B

  解:-+--2-=(---)+(---)=-+-

  又---=-

  ∴-·(-+-)=0

  ∴等腰三角形

  7. 已知-A=-,-C=-,-C=-且滿足(---)·■=0(>0),則△ABC為(

  )

  A.等邊三角形 B.等腰三角形

  C.直角三角形D.不確定

  解: 式子的含義就是角分線與高線合一。故選B。

  8.若平面四邊形ABCD滿足-+-=-,(---)·■=0,則該四邊形一定是

  A. 直角梯形 B. 矩形

  C. 菱形 D. 正方形

  答案為C。先進(jìn)個(gè)條件告訴我們這是平行四邊形,而第二個(gè)條件則說(shuō)明對(duì)角線互相垂直。

  五、向量與解析幾何的綜合:

  9.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn),若-+-+-=0,

  解:由-+-+-=0可知,F(xiàn)為三角形ABC的重心,故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值為6。

  10.已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上,且A(-2,0),B(2,0)|-|=2,-=-(-+-) 求E點(diǎn)的軌跡方程;

  解:(1)設(shè)E(x,y),-=-+- ,則四邊形ABCD為平行四邊形,而-=-(-+-)E為AC的中點(diǎn)

  ∴OE為△ABD的中位線

  ∴|-|=-|-|=1

  ∴E點(diǎn)的軌跡方程是:x2+y2=1(y≠0)

  點(diǎn)評(píng):本題正是關(guān)注了向量幾何意義得以實(shí)現(xiàn)運(yùn)算簡(jiǎn)化。

  11.設(shè)橢圓方程為x2+-=1,過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足-=-(-+-),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-,-),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求:

  (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

  (2)|-|的較小值與較大值.

  (1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2) 在橢圓上,所以x12+-=1④ x22+-=1 ⑤

  ④―⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0,所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

  當(dāng)x1≠x2時(shí),有x1+x2+-(y1+y2)·■=0 ⑥

  -

  將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0 ⑧

  當(dāng)x1=x2時(shí),點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0,2)、(0,-2),這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)

  也滿足⑧,所以點(diǎn)P的軌跡方程為-+-=1

  (2)解:由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤-,即--≤x≤-。

  所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

  故當(dāng)x=-,|-|取得較小值,較小值為-;當(dāng)x=--時(shí),|-|取得較大值,

  較大值為-。

  點(diǎn)評(píng):本題突出向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解析幾何求軌跡方法的結(jié)合,以及二次函數(shù)求較值問(wèn)題。

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  12.在△ABC中,-=-,-=-又E點(diǎn)在BC邊上,且滿足3-=2-,以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)C,E兩點(diǎn),(1)求此雙曲線方程,(2)設(shè)P是此雙曲線上任意一點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作APB的平分線的垂線,垂足為M,求M點(diǎn)軌跡方程。

  解:本題只解先進(jìn)問(wèn),在這里向量的應(yīng)用是很有新意的。

  (1)以線段AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-1, 0) B(1, 0)作CO⊥AB于D

  由已知-=-

  ∴|-|cosA=-

  ∴|-|=-

  又同理-=-

  ∴|-|=-

  設(shè)雙曲線---=1(a>0,b>0) C(--,h) E(x1,y1)

  ∵3-=2-

  -

  E,C在雙曲線上

  -

  ∴雙曲線為7x2--y2=1

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