08高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):平面向量解題要點(diǎn)與應(yīng)用

2008-02-01 09:38:10 　來(lái)源：每日新報(bào) 文章作者：賈魯津

　　平面向量這一章內(nèi)容本身兼有代數(shù)、幾何雙重特點(diǎn)，而又完全有別于孩子多年來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所接觸到的代數(shù)運(yùn)算和幾何證明，因此，多數(shù)同學(xué)對(duì)本章問(wèn)題感到既抓不住重點(diǎn)，也找不到規(guī)律，因此很困惑，甚者發(fā)憷。比較近幾年數(shù)學(xué)高診斷卷中的平面向量題目，不難發(fā)現(xiàn)其中的幾個(gè)突出變化： 1.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)覆蓋面越來(lái)越全；2.與其他章節(jié)知識(shí)的交匯越來(lái)越多樣，也越來(lái)越深入；3.題目所在檔次有所提高，拿到相關(guān)分?jǐn)?shù)的難度越來(lái)越大。如此，就增加了孩子準(zhǔn)備的難度。在順利完成基本概念和基本運(yùn)算復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，我給孩子提出了“三大線索，兩大技巧”的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。三大線索即：向量形式、坐標(biāo)形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數(shù)。下面就以向量與其他章節(jié)的綜合為主線，和同學(xué)們一起回顧一下主要內(nèi)容及其應(yīng)用。

　　一、基本類:

　　1.已知-＝(1，2)，-＝(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)則k＝_______，

　　若(k-+-)//(--3-)，則k＝____

　　答案：19，--。公式基本應(yīng)用，無(wú)需解釋。

　　2.已知向量-=(cos，sin)，向量-=(2-，-1)則|3---|的較大值為解：(3a-b)2=(3cosθ-2-, 3sinθ+1) (3cosθ-2-, 3sinθ+1)

　　=(3cosθ-2-) 2+(3sinθ+1)2

　　=9cos2θ-12-cosθ+8+9sin2θ+1+6sinθ

　　=18+6sinθ-12-cosθ

　　≤18+-=18+18=36

　　∴|3a-b|max=6

　　點(diǎn)評(píng)：本題雖然是道小的綜合題，但是向量中的升次技巧還是十分突出的，“見(jiàn)模平方”已是很多老師介紹給同學(xué)的一大法寶。不過(guò)升次的另外一種途徑，就是同時(shí)點(diǎn)乘向量。

　　二、向量與三角知識(shí)綜合：

　　3.設(shè)-=(1+cos，sin)，-=(1-cos，sin)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夾角為θ1，-，-的夾角為θ2，且θ1-θ2=-，求sin-的值。

　　解：-·■=1+cos

　　-·■=1-cos

　　|-|2=2+2cos=4cos2- |-|2=2-2cos=4sin2- |-|=1

　　∵-∈(0，- ) -∈(-，)

　　∴|-|=2cos- |-|=2sin-

　　又-·■=|-| |-|cosθ1

　　∴1+cos=2cos-cosθ1

　　2cos2-=2cos-·cosθ1

　　∴cosθ1=cos- ∴θ1=-

　　同理-·■=|-| |-|cosθ2

　　∴sin-=cosθ2

　　∴cos(---)=cosθ2

　　∴---=θ2

　　∴θ1-θ2=-+-=-

　　∴-=--

　　∴sin-=--

　　三、向量與函數(shù)、不等式知識(shí)綜合：

　　4.已知平面向量-=(-，1)， -=(-，-)，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k，t，使-=-+(t2-3)-，-=-k-+t-，且-⊥-.(1)試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(2)求使f(t)>0的t的取值范圍.

　　解：(1)由題知-·■=0，|-|2=4 |-|2=1

　　-·■=-k-2+t-·■+t(t3-3)-2-k(t2-3)-·■=-4k+t(t2-3)=0

　　∴k=-(t3-3t)即f(t)=-(t3-3t)

　　(2)f’(t)=-(3t2-3)=-(t2-1)

　　令f(t)=0 ∴t1=0 t2=-- t3=-

　　由圖可知

　　t∈(--，0)∪(-,+∞)

　　四、用向量的知識(shí)解決三角形四邊形中的問(wèn)題。(與平面幾何的交匯是近幾年診斷的熱點(diǎn))

　　溫馨提示：據(jù)以下問(wèn)題，同學(xué)們可以歸納一些常見(jiàn)結(jié)論，如與內(nèi)心、外心、垂心、重心、中線、角分線、高線、共線、垂直等相關(guān)的結(jié)論。

　　5.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 -=-+(-+-)·∈(0,+∞)。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )

　　A.外心 B.內(nèi)心

　　C.重心 D.垂心

　　答案：B

　　6.設(shè)平面內(nèi)有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(---)與(-+--2-)的內(nèi)積等于零，則△ABC的形狀為( )

　　(A)直角三角形

　　(B)等腰三角形

　　(C)等腰直角三角形

　　(D)等邊三角形

　　答案：B

　　解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

　　又---=-

　　∴-·（-+-)=0

　　∴等腰三角形

　　7. 已知-A=-，-C=-，-C=-且滿足(---)·■=0(>0)，則△ABC為(

　　)

　　A.等邊三角形 B.等腰三角形

　　C.直角三角形D.不確定

　　解：式子的含義就是角分線與高線合一。故選B。

　　8.若平面四邊形ABCD滿足-+-=-，(---)·■=0，則該四邊形一定是

　　A. 直角梯形 B. 矩形

　　C. 菱形 D. 正方形

　　答案為C。先進(jìn)個(gè)條件告訴我們這是平行四邊形，而第二個(gè)條件則說(shuō)明對(duì)角線互相垂直。

　　五、向量與解析幾何的綜合：

　　9.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若-+-+-=0，

　　解：由-+-+-=0可知，F(xiàn)為三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值為6。

　　10.已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-) 求E點(diǎn)的軌跡方程；

　　解：(1)設(shè)E(x，y)，-=-+- ，則四邊形ABCD為平行四邊形，而-=-(-+-)E為AC的中點(diǎn)

　　∴OE為△ABD的中位線

　　∴|-|=-|-|=1

　　∴E點(diǎn)的軌跡方程是：x2+y2=1(y≠0)

　　點(diǎn)評(píng)：本題正是關(guān)注了向量幾何意義得以實(shí)現(xiàn)運(yùn)算簡(jiǎn)化。

　　11.設(shè)橢圓方程為x2+-=1，過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足-=-(-+-)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-，-)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

　　(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

　　(2)|-|的較小值與較大值.

　　(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2) 在橢圓上，所以x12+-=1④ x22+-=1 ⑤

　　④―⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

　　當(dāng)x1≠x2時(shí)，有x1+x2+-(y1+y2)·■=0 ⑥

　　將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0 ⑧

　　當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)

　　也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為-+-=1

　　(2)解：由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤-，即--≤x≤-。

　　所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

　　故當(dāng)x=-，|-|取得較小值，較小值為-；當(dāng)x=--時(shí)，|-|取得較大值，

　　較大值為-。

　　點(diǎn)評(píng)：本題突出向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解析幾何求軌跡方法的結(jié)合，以及二次函數(shù)求較值問(wèn)題。

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　　12.在△ABC中，-=-，-=-又E點(diǎn)在BC邊上，且滿足3-=2-，以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)C,E兩點(diǎn)，(1)求此雙曲線方程，(2)設(shè)P是此雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作APB的平分線的垂線，垂足為M，求M點(diǎn)軌跡方程。

　　解：本題只解先進(jìn)問(wèn)，在這里向量的應(yīng)用是很有新意的。

　　(1)以線段AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(-1, 0) B(1, 0)作CO⊥AB于D

　　由已知-=-

　　∴|-|cosA=-

　　∴|-|=-

　　又同理-=-

　　∴|-|=-

　　設(shè)雙曲線---=1(a>0，b>0) C(--，h) E(x1，y1)

　　∵3-=2-

　　E，C在雙曲線上

　　∴雙曲線為7x2--y2=1