2008年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：解析幾何專題熱點(diǎn)指導(dǎo)

2008-05-05 09:42:09 　來(lái)源：城市快報(bào) 文章作者：張鼎言

圖1

　　天津市第四十二中學(xué) 張鼎言

　　3. 設(shè)A，B分別為橢圓-+-=1(a，b>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線。

　　(Ⅰ)、求橢圓的方程；

　　(Ⅱ)、設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

　　解：(Ⅰ)由已知a=2c，-=4

　　故橢圓的方程為-+-=1

　　(Ⅱ)要證點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)，需證∠MBN>90°。用向量數(shù)量積方法要考慮B、M、N三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，其中M、N兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在運(yùn)算上都有難度，我們轉(zhuǎn)化為證明∠MBP<90°，這時(shí)用點(diǎn)P的坐標(biāo)使問(wèn)題簡(jiǎn)化。如圖，不妨假定y0>0，y1>0

　　由平面幾何，

　　-=-=-，

　　y0=-，

　　M在橢圓上，

　　即y12=-(12-3x12)

　　-=(x1-2，y1)，

　　-=(2，y0)

　　-·■=2(x1-2)+y0y1=2(x1-2)+-=2(x1-2)+-(2-x1)=-(2-x1)

　　而-2

　　∴-·■>0，

　　∴cos∠MBP>0，

　　∠MBP<90°，