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天津市第四十二中學(xué) 張鼎言
3. 設(shè)A,B分別為橢圓-+-=1(a,b>0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且x=4為它的右準(zhǔn)線。
(Ⅰ)、求橢圓的方程;
(Ⅱ)、設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點(diǎn)M、N,證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。
解:(Ⅰ)由已知a=2c,-=4
故橢圓的方程為-+-=1
由平面幾何,
-=-=-,
y0=-,
M在橢圓上,
即y12=-(12-3x12)
-=(x1-2,y1),
-=(2,y0)
-·■=2(x1-2)+y0y1=2(x1-2)+-=2(x1-2)+-(2-x1)=-(2-x1)
而-2
∴-·■>0,
∴cos∠MBP>0,
∠MBP<90°,
∠MBN>90°
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