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高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo):求空間圖形中的角

2008-05-21 09:30:32  來源:東方網(wǎng)-新民晚報 文章作者:崔亦明

高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo):求空間圖形中的角(組圖)
求空間圖形中的角

高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo):求空間圖形中的角(組圖)
求空間圖形中的角

高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo):求空間圖形中的角(組圖)
求空間圖形中的角

高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo):求空間圖形中的角(組圖)
求空間圖形中的角

  空間圖形中的角,包括異面直線所成角、直線與平面所成角和二面角。這些角的,是高考中的一項(xiàng)主要的考核內(nèi)容。做這類題目,應(yīng)根據(jù)定義找出或作出所求的角。并根據(jù)題目的要求,一些線段的長度,然后通過解三角形等方法求值。在解題時要注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一,還要注意各種角的范圍,運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鏊鼈兊拇笮。?dāng)然也可借助空間向量求這些角的大小。

  例:在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中,E、F分別是BC、A′D′的中點(diǎn),

  (1)求直線A′C與DE所成的角;

  (2)求直線AD與平面B′EDF所成的角;

  (3)求平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角

  解法一:

  (1)解 如圖所示,在平面ABCD內(nèi),過C作CP∥DE,交直線AD于P,則∠A′CP(或補(bǔ)角)為異面直線A′C與DE所成的角

  在△A′CP中,易得A′C=-a,CP=DE=-a, A′P=-a

  由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C與DE所成角為arccos-

  點(diǎn)評:異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°,求解的方法主要是平移法和補(bǔ)形法。

  (2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上(如圖)又可證明四邊形B′EDF為菱形(證明略),∴DB′為∠EDF的平分線,

  故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′,

  在Rt△B′AD中,AD=-a,AB′=-a,B′D=-a,

  則cosADB′=-,故AD與平面B′EDF所成的角是arccos-

  點(diǎn)評:直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°,求解的關(guān)鍵是找直線在平面上的射影。

  (3)解 如圖,連結(jié)EF、B′D,交于O點(diǎn),顯然O為B′D的中點(diǎn),從而O為正方形ABCD-A′B′C′D的中心,作OH⊥平面ABCD,則H為正方形ABCD的中心,再作HM⊥DE,垂足為M,連結(jié)OM,則OM⊥DE,故∠OMH為二面角B′-DE′-A的平面角

  在Rt△DOE中,OE=-a,OD=-a,斜邊DE=-a,

  則由面積關(guān)系得OM=-=-a,在Rt△OHM中,sinOMH=-=-,故平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角為arcsin-

  點(diǎn)評:二面角的范圍是0°≤θ≤180°,求解的方法主要是定義法、運(yùn)用三垂線定理及其逆定理和垂面法

  解法二(向量法)

  (1) 如圖建立坐標(biāo)系,則A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,-,0)→-=(a,a,-a),-=(a,--,0)→cos<-,->=-=- 故A′C與DE所成角為arccos-

  (2)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上,如下圖所示,又∵B′EDF為菱形,∴DB′為∠EDF的平分線,

  故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′,如圖建立坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B′(a,0,a),D(0,a,0)→-=(0,-a,0),-=(a,-a,a)→cos<-,->=-=-,故AD與平面B′EDF所成的角是arccos-

  (3) 由(1)知A(0,0,0),A′(0,0,a),B′(a,0,a),D(0,a,0),E(a,-,0)

  所以面ABCD的法向量為-=-=(0,0,a)下面求面B′EDF的法向量-

  設(shè)-=(1,y,z),由-=(-a,-,0),-=(0,--,a),-⊥--⊥-→-ax+-y=0--y+az=0 不妨取z=1,得-=(1,2,1) ∴cos<-,->=-=-

  故平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角為arccos-

  點(diǎn)評:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量,以代數(shù)的方法求空間的一些角的大小,可以使求解過程變得簡潔、明了。

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