一 奇怪的無窮多
整數(shù)有多少個?
無窮個。
偶數(shù)有多少個?
無窮個。
這樣的回答是正確的。如果我問你:
整數(shù)與偶數(shù),哪一種數(shù)多?
恐怕不少同學都會說,當然整數(shù)比偶數(shù)多了。進一步,恐怕還會有同學告訴我,“偶數(shù)的個數(shù)等于整數(shù)個數(shù)的一半”。什么道理呢?那是因為“奇數(shù)與偶數(shù)合起來就是整數(shù)。而奇數(shù)與偶數(shù)是相同排列的,所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多,大家都是整數(shù)的一半。”
整數(shù)包括偶數(shù),偶數(shù)是整數(shù)的一部分,全體大于部分,整數(shù)比偶數(shù)多,這不是顯而易見、再明白不過的事嗎?
你認為這樣的回答有道理嗎?
16世紀意大利科學家伽利略的看法卻與此相反,他曾提出過一個的悖論,叫做“伽利略悖論”,悖論的內(nèi)容是:“整數(shù)和偶數(shù)一樣多”。這似乎違背常識。
不過,伽利略所說的,也絕不是沒有道理。首先,我們論述的對象都是無窮個,而不是有限個,對于有限個來說,“全體大于部分”無可爭議。從1到10的整數(shù)比從1到10的偶數(shù)就是多。但是,把這個用到無窮上就要重新考慮了。對于有限來說,說兩堆物體數(shù)量一樣多,只要把各堆物體數(shù)一下,看看兩堆物體的數(shù)量是否相等就可以。這個辦法對“無窮”來說是不適用的,因為“無窮”本身就包括“數(shù)不完”的意思在內(nèi)?雌饋,我們得另想辦法。
據(jù)說,居住在非洲的有些部族,數(shù)數(shù)較多不超過3,但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是,早上開圈放羊時,讓羊一只一只往外出。每出一只羊,牧羊人就拾一塊小石頭。顯然,羊的個數(shù)和小石頭的個數(shù)一樣多。傍晚,放牧歸來,每進圈一只羊,牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進了圈,而小石頭一個沒剩,說明羊一只也沒丟。非洲牧羊人實際上采取了“一對一”的辦法,兩堆物體只要能建立起這種一對一的關系,就可以說明兩堆物體的數(shù)量一樣多。
這種辦法同樣可以用在無窮上,看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對一的關系。伽利略在整數(shù)與偶數(shù)之間建立的對應關系是:
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按這樣的一種關系,給出一個整數(shù),就可以找出一個偶數(shù)與之對應,給出的整數(shù)不同,與之相對應的偶數(shù)也不同;反過來,對于每一個偶數(shù),都可以找到一個自然數(shù)與之對應,偶數(shù)不同,所對應的整數(shù)也不同,由此我們稱整數(shù)與偶數(shù)之間建立了一對一的關系,所以我們說:“整數(shù)與偶數(shù)一樣多”是正確的。
這告訴我們,“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的,許多對“有限”成立的性質(zhì),對“無窮”卻未必成立。
二 變換
任給一個自然數(shù)n,如果n是偶數(shù),則將它除以2;如果n是奇數(shù),則將它乘以3,再加上1,我們稱這種作法為對于數(shù)n的變換.例如,對于數(shù)5,按照上述規(guī)則進行一次變換得到。
3×5+1=16.
對16施行變換得 16÷2=8.
將這種變換繼續(xù)下去,有
8÷2=4, 4÷2=2,
2÷2=1, 1×3+1=4,
4÷2=2, 2÷2=1,
……
有趣的是,對于數(shù)5,按照上面所要求的規(guī)則不斷變換下去,較終出現(xiàn)形如
4→2→1→4→2→1→……的重復.
還可以以6為例按上述指定規(guī)則進行變換,得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
再如18,
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我們發(fā)現(xiàn)在這種指定變換下,無論開始是哪個自然數(shù),較終總得到形如
4→2→1→4→2→1的循環(huán)、重復.
遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數(shù),就斷定對任何自然數(shù)n都具備這種性質(zhì)。事實上,到目前為止,還沒有誰能證明這一點。
在邀請賽中我們會遇到一些類似的變換,有時候是對一個數(shù)連續(xù)進行某種指定變換,有時候是對一組數(shù)連續(xù)進行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中,卻隱藏著某種規(guī)律,而我們解決這些問題的關鍵,就在于透過表面現(xiàn)象,從“萬變”中揭示出“不變”的數(shù)量關系。
例1 對任意兩個不同的自然數(shù),將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差,稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續(xù)變換:
18,42→18,24→18,6→12,6→6,6。
直到兩數(shù)相同為止。問:對12345和54321進行這樣的連續(xù)變換,較后得到的兩個相同的數(shù)是幾?為什么?
解 如果兩個數(shù)的較大公約數(shù)是a,那么這兩個數(shù)之差與這兩個數(shù)中的任何一個數(shù)的較大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中,所得兩數(shù)的較大公約數(shù)始終不變,所以較后得到的兩個相同的數(shù)就是它們的較大公約數(shù)。因為12345和54321的較大約數(shù)是3,所以較后得到的兩個相同的數(shù)是3。
說明 這個變換的過程實際上就是求兩數(shù)較大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。
例2 黑板上寫著三個整數(shù),任意擦去其中一個,將它改寫成為其它兩數(shù)之和減1,這樣繼續(xù)下去,較后得到3,1997,1999,問原來的三個數(shù)能否是2,2,2?
解 答案是否定的。
注意到2,2,2按照題設中的方式首先變換為2,2,3,再變換下去必定其中兩個為偶數(shù),一個為奇數(shù)(數(shù)值可以改變,但奇偶性不變)。但3,1997,1999是三個奇數(shù),所以2,2,2永遠不會按照所述方式變?yōu)?,1997,1999。
想想練練
1.黑板上寫著1~15共15個數(shù),每次任意擦去兩個數(shù),再寫上這兩個數(shù)的和減1。例如,擦掉5和11,要寫上15。經(jīng)過若干次后,黑板上就會剩下一個數(shù),這個數(shù)是幾?
2.在黑板上任意寫一個自然數(shù),然后用與這個自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的較小自然數(shù)替換這個數(shù),稱為一次變換。問較多經(jīng)過多少次變換,黑板上就會出現(xiàn)2?
3.口袋里裝有101張小紙片,上面分別寫著1~101。每次從袋中任意摸出5張小紙片,然后算出這5張小紙片上各數(shù)的和,再將這個和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過若干次這樣做后,袋中還剩下一張紙片,這張紙片上的數(shù)是幾?
4.在一個圓上標出一些數(shù):先進次先把圓周二等分,在兩個分點分別標上2和4。第二次把兩段半弧分別二等分,在分點標上相鄰兩數(shù)的平均數(shù)3(圖4)。第三次把四段弧再分別二等分,在四個分點分別標上相鄰兩分點兩數(shù)的平均數(shù)。如此下去,當?shù)?次標完后,圓周上所有標出的數(shù)的總和是多少?