趣味學習小學數(shù)學：魔方動作解密

　　作者：北大校區(qū)小學數(shù)學老師 劉姝玲　

　　現(xiàn)在中小學較流行的動腦游戲要算是魔方了，現(xiàn)在魔方的玩法也是多種多樣，很多孩子想學，那么我們一起來開動腦筋吧

　　魔方有多少種可以達到的狀態(tài)？答案是 43252003274486000 約 4000 億億。

　　算法： 8 個角方塊排列在 8 個位置， 12 個棱方塊排列在 12 個位置，共有 8！ × 12 ！種。又每個棱方塊有 2 個朝向，每個角方塊有 3 個朝向， 共 3^8 × 2^12 種。因此魔方的狀態(tài)數(shù)是 8！ × 12 ！× 3^8 × 2^12 = 519024039293878272000 種，51902億億以上。

　　但在 20 個方塊中， 18 個位置確定，另外 2 個位置也就確定了。因此要去掉因子 2 ！。在 8 個角方塊中， 7 個朝向確定，第 8 個朝向也就確定了；在 12 個棱方塊中， 11 個朝向確定，第 12 個朝向也就確定了。這樣要再去掉 3 × 2 因子，實際是上面數(shù)的 1/12 ，即總數(shù) 8！ × 12 ！× 3^7 × 2^11/2=43252003274486000 .

　　從另一個角度考慮上面的除數(shù) 12 .如果我們確定了 6 種顏色，每種顏色涂在魔方的1 個表面上的9個小方塊上。然后然后我們拆開魔方，再打亂了重新拼裝起來，那么并不是所得到的每個魔方都能還原為初始狀態(tài)。具體說，有519024039293878272000 種拼法，可以分為 12 類，每類 43252003274486000 種。同類里任何兩個狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)換，而不同類間不能轉(zhuǎn)換。

　　魔方動作的群論表示舉例

　　面對右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉(zhuǎn)動Y3后如右圖，就可得出各塊的變動。

　　類似分析Z3，

　　二者復合為

　　其中對角方塊，右上角的正號表示此塊順時針轉(zhuǎn)2π/3 ，負號表示反時針轉(zhuǎn)。對棱方塊表示有一個方向的翻轉(zhuǎn)。 上面分析說明，經(jīng)過Y3，Z3兩個轉(zhuǎn)動，上右前角塊回到原地，但順時針轉(zhuǎn)了2π/3 ，還有5個角方塊做了一個輪換，各反時針轉(zhuǎn)了2π/3 ，或說順時針轉(zhuǎn)了4π/3 ，7個棱方塊做了一個輪換。

　　這樣，可以看出，

　　(1) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做3次，那么上右前角方塊會回到原來位置，且轉(zhuǎn)了6π/3，即沒有轉(zhuǎn)動。

　　(2) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做5次，那5個角方塊都會回到原來位置，但都轉(zhuǎn)了10π/3，或4π/3，即反時針轉(zhuǎn)2π/3 .

　　(3) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做7次，那7個棱方塊都會回到原來位置，且沒有轉(zhuǎn)動。

　　我們用魔方電腦游戲可以輕易的驗證這些結(jié)論。

　　用這種方法，我們只要給出9個基本動作X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3，Z1，Z2，Z3，就可以求出它們的逆動作X1'，X2'，X3'，Y1'，Y2'，Y3'，Z1'，Z2'，Z3'，在通過求出任何若干次動作的結(jié)果。我們已經(jīng)不需要具體的魔方，只要由就可以表現(xiàn)魔方的轉(zhuǎn)動。

　　反過來，如果知道魔方的狀態(tài)，能否找到復原的方法？也就是把現(xiàn)在狀態(tài)分解為基本動作的復合，這是個問題，相當于把一個矩陣分解為某些特定矩陣的積。如果能解決這個問題并很快給出答案，就完全解決了魔方的復原問題。

　　解決魔方的記錄

　　利用群論可以給出魔方解法。理論上，解決魔方的步數(shù)可能較多只需要22 或23步。實際上，英國一位魔方大師利用群論求出的解法較多只要52 步。100 步以下就是很好的解法。一般人玩，恢復魔方需要數(shù)百步。

　　2005 年2 月2 日的世界魔方比賽中，Shotaro Makisnmi(日本)奪得，成績13.27 秒；Leyan Lo(美國) 和Frank Morris(美國)并列第二名，時間同為15 秒；Chun Hei Wong(中國香港)第四名，18.48 秒。
 

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