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1、配方法:所謂配方,就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法,把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中,用的較多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法,它的應(yīng)用非常廣泛,在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。
2、因式分解法:因式分解,就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ),它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多,除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外,還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。
3、換元法:換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元,所謂換元法,就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中,用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋(gè)部分或改造原來的式子,使它簡(jiǎn)化,使問題易于解決。
4、判別式法與韋達(dá)定理:一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)根的判別式△=b2-4ac,不僅用來判定根的性質(zhì),而且作為一種解題方法,在代數(shù)式變形,解方程(組),解不等式,研究函數(shù)乃至解析幾何、三角函數(shù)運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。
韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根,求另一根;已知兩個(gè)數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外,還可以求根的對(duì)稱函數(shù),計(jì)論二次方程根的符號(hào),解對(duì)稱方程組,以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等,都有非常廣泛的應(yīng)用。
5、待定系數(shù)法:在解數(shù)學(xué)問題時(shí),若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式,其中含有某些待定的系數(shù),而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式,較后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系,從而解答數(shù)學(xué)問題,這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要方法之一。
6、構(gòu)造法:在解題時(shí),我們常常會(huì)采用這樣的方法,通過對(duì)條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造輔助元素,它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等,架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而使問題得以解決,這種解題的數(shù)學(xué)方法,我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題,可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透,有利于問題的解決。
7、反證法:反證法是一種間接證法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。
用反證法證明一個(gè)命題的步驟,大體上分為:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。
反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有;至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè);至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);/至少有兩個(gè)。
歸謬是反證法的關(guān)鍵,導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾。
8、等(面或體)積法:平面(立體)幾何中講的面積(體積)公式以及由面積(體積)公式推出的與面積(體積)有關(guān)的性質(zhì)定理,不僅可用于面積(體積),而且用它來證明()幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積(體積)關(guān)系來證明或幾何題的方法,稱為等(面或體)積法,它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明幾何題,其困難在添置輔助線。等(面或體)積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積(體積)公式聯(lián)系起來,通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用等(面或體)積法來解幾何題,幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系,只需要,有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線,即使需要添置輔助線,也很容易考慮到。
9、幾何變換法:在數(shù)學(xué)問題的研究中,常常運(yùn)用變換法,把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的題目,可以借助幾何變換法,化繁為簡(jiǎn),化難為易。另一方面,也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來,有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。
幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對(duì)稱。
10.客觀性題的解題方法:選擇題是給出條件和結(jié)論,要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧,形式靈活,可以比較全面地考察孩子的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,從而增大了試題的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化診斷的重要題型之一,它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確,知識(shí)復(fù)蓋面廣,評(píng)卷準(zhǔn)確迅速,有利于考查孩子的分析判斷能力和能力等優(yōu)點(diǎn),不同的是填空題未給出答案,可以防止孩子猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題,除了具有準(zhǔn)確的、嚴(yán)密的推理外,還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。
下面通過實(shí)例介紹常用方法。
(1)直接推演法:直接從命題給出的條件出發(fā),運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算,得出結(jié)論,選擇正確答案,這就是傳統(tǒng)的解題方法,這種解法叫直接推演法。
(2)驗(yàn)證法:由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件,再通過驗(yàn)證,找出正確答案,亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證,找出正確答案,此法稱為驗(yàn)證法(也稱代入法)。當(dāng)遇到定量命題時(shí),常用此法。
(3)特殊元素法:用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代入題設(shè)條件或結(jié)論中去,從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
(4)排除、篩選法:對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題,根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、演算,把不正確的結(jié)論排除,余下的結(jié)論再經(jīng)篩選,從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。
(5)圖解法:借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷,作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。
(6)分析法:直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論,作詳盡的分析、歸納和判斷,從而選出正確的結(jié)果,稱為分析法。
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