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一、集合的思想方法
把一組對象放在一起,作為討論的范圍,這是人類早期就有的思想方法,繼而把一定程度抽象了的思維對象,如數(shù)學上的點、數(shù)、式放在一起作為研究對象,這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想,在小學數(shù)學中就有所體現(xiàn)。在小學數(shù)學中,集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。
如用圓圈圖(韋恩圖)向孩子直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性,可以看作一個整體,這個整體就是一個集合。利用圖形間的關系則可向孩子滲透集合之間的關系,如長方形集合包含正方形集合,平行四邊形集合包含長方形集合,四邊形集合又包含平行四邊行集合等。
二、對應的思想方法
對應是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握,是現(xiàn)代數(shù)學的一個較基本的概念。小學數(shù)學教學中主要利用虛線、實線、箭頭、計數(shù)器等圖形將元素與元素、實物與實物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來,滲透對應思想。
如人教版一年級上冊教材中,分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應后,進行多少的比較學習,向孩子滲透了事物間的對應關系,為孩子解決問題提供了思想方法。
三、數(shù)形結合的思想方法
數(shù)與形是數(shù)學教學研究對象的兩個側面,把數(shù)量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題,就是數(shù)形結合思想。“數(shù)形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖,促進孩子形象思維和抽象思維的協(xié)調發(fā)展,溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系,從復雜的數(shù)量關系中凸顯較本質的特征。它是小學數(shù)學教材編排的重要原則,也是小學數(shù)學教材的一個重要特點,更是解決問題時常用的方法。
例如,我們常用畫線段圖的方法來解答應用題,這是用圖形來代替數(shù)量關系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等,這些都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。
四、函數(shù)的思想方法
恩格斯說:“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù),運動進入了數(shù)學,有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學,有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了。”我們知道,運動、變化是客觀事物的本質屬性。函數(shù)思想的可貴之處正在于它是運動、變化的觀點去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。孩子對函數(shù)概念的理解有一個過程。在小學數(shù)學教學中,教師在處理一些問題時就要做到心中有函數(shù)思想,注意滲透函數(shù)思想。
函數(shù)思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓孩子觀察《20以內(nèi)進位加法表》,發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等,都較好的滲透了函數(shù)的思想,其目的都在于幫助孩子形成初步的函數(shù)概念。
五、極限的思想方法
極限的思想方法是人們從有限中認識無限,從近似中認識準確,從量變中認識質變的一種數(shù)學思想方法,它是事物轉化的重要環(huán)節(jié),了解它有重要意義。
現(xiàn)行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學時,教師可讓孩子體會自然數(shù)是數(shù)不完的,奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個,讓孩子初步體會“無限”思想;在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中,1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù),它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的,是無限的;在直線、射線、平行線的教學時,可讓孩子體會線的兩端是可以無限延長的。
六、化歸的思想方法
化歸是解決數(shù)學問題常用的思想方法;瘹w,是指將有待解決或未解決的的問題,通過轉化過程,歸結為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去,以求得解決?陀^事物是不斷發(fā)展變化的,事物之間的相互聯(lián)系和轉化,是現(xiàn)實世界的普遍規(guī)律。數(shù)學中充滿了矛盾,如已知和未知、復雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等,實現(xiàn)這些矛盾的轉化,化未知為已知,化復雜為簡單,化陌生為熟悉,化困難為容易,都是化歸的思想實質。任何數(shù)學問題的解決過程,都是一個未知向已知轉化的過程,是一個等價轉化的過程;瘹w是基本而典型的數(shù)學思想。我們實施教學時,也是經(jīng)常用到它,如化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。
如:小數(shù)除法通過“商不變性質”化歸為除數(shù)是整數(shù)的除法;異分母分數(shù)加減法化歸為同分母分數(shù)加減法;異分母分數(shù)比較大小通過“通分”化歸為同分母分數(shù)比較大小等;在教學平面圖形求積公式中,就以化歸思想、轉化思想等為理論武器,實現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積公式間的同化和順應,從而構建和完善了孩子的認知結構。
七、歸納的思想方法
在研究一般性性問題之前,先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規(guī)律和性質,這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。數(shù)學知識的發(fā)生過程就是歸納思想的應用過程。在解決數(shù)學問題時運用歸納思想,既可認由此發(fā)現(xiàn)給定問題的解題規(guī)律,又能在實踐的基礎上發(fā)現(xiàn)新的客觀規(guī)律,提出新的原理或命題。因此,歸納是探索問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理或公式的重要思想方法,也是思維過程中的一次飛躍。
如:在教學“三角形內(nèi)角和”時,先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù),再用猜測、操作、驗證等方法推導一般三角形的內(nèi)角和,較后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180度。這就運用歸納的思想方法。
八、符號化的思想方法
數(shù)學發(fā)展到今天,已成為一個符號化的世界。符號就是數(shù)學存在的具體化身。英國數(shù)學家羅素說過:“什么是數(shù)學?數(shù)學就是符號加邏輯。”數(shù)學離不開符號,數(shù)學處處要用到符號。懷特海曾說:“只要細細分析,即可發(fā)現(xiàn)符號化給數(shù)學理論的表述和論證帶來的極大方便,甚至是必不可少的。”數(shù)學符號除了用來表述外,它也有助于思維的發(fā)展。如果說數(shù)學是思維的體操,那么,數(shù)學符號的組合譜成了“體操進行曲”,F(xiàn)行小學數(shù)學教材十分注意符號化思想的滲透。
人教版教材從一年級就開始用“□”或“()”代替變量x,讓孩子在其中填數(shù)。例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:學校有7個球,又買來4個,F(xiàn)在有多少個?要孩子填出□○□=□(個)。
符號化思想在小學數(shù)學內(nèi)容中隨處可見,教師要有意識地進行滲透。數(shù)學符號是抽象的結晶與基礎,如果不了解其含義與功能,它如同“天書”一樣令人望而生畏。因此,教師在教學中要注意孩子的可接受性。
九、統(tǒng)計的思想方法
在生產(chǎn)、生活和科學研究時,人們通常需要有目的地調查和分析一些問題,就要把收集到的一些原始數(shù)據(jù)加以歸類整理,從而推理研究對象的整體特征,這就是統(tǒng)計的思想和方法。例如,求平均數(shù)是一種理想化的統(tǒng)計方法。我們要比較兩個班的學習情況,以班級孩子的平均數(shù)作為該班成績的標志是有一定說服力的,這是一種較常用、較簡單方便的統(tǒng)計方法
小學數(shù)學除滲透運用了上述各數(shù)學思想方法外,還滲透運用了轉化的思想方法、假設的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法、類比的思想方法等。從教學效果看,在教學中滲透和運用這些教學思想方法,能增加學習的趣味性,激發(fā)孩子的學習興趣和學習的主動性;能啟迪思維,發(fā)展孩子的數(shù)學智能;有利于孩子形成牢固、完善的認識結構?傊,在教學中,教師要既重視數(shù)學知識、技能的教學,又注重數(shù)學思想、方法的滲透和運用,這樣無疑有助于孩子數(shù)學素養(yǎng)的全面,無疑有助于孩子的終身學習和發(fā)展。
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