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初二數(shù)學精華一元一次不等式(組)

2010-06-04 13:08:20  來源:網(wǎng)絡(luò)

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1、不等式與等式的性質(zhì)類比。

對于等式(例如a=b)的性質(zhì),我們比較熟悉。不等式(例如a>b或a 等式有兩個基本性質(zhì):

1、等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,等號不變。(即兩邊仍然相等)。

2、等式兩邊都乘以(或除以)同一個不等于

0的數(shù),符號不變(即兩邊仍然相等)。

按“類比”思想考慮問題,自然會問:不等式是否也具有這樣相類似的性質(zhì),通過實例的反復檢驗得到的回答是對的,即有。

不等式的性質(zhì);1、不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變(即原來大的一邊仍然大,原來較小的一邊仍然較。。2、不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號方向不變。3、不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變(即原來較大的一邊反而較小,原來較小的一邊反而較大)。

例如:-x>20, 兩邊都乘以-5,得,
x<-100,(變形根據(jù)是不等式基本性質(zhì)3)。
等式的基本性質(zhì)是等式變形的根據(jù),與此類似,不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的根據(jù)。

2、不等式的解與方程的解的類比

從形式上看,含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來考慮問題,同樣可以仿效方程解的意義來理解不等式的解的意義。

例如:當x=3時,方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當x=2時,方程x+4=7兩邊值不相等,x=2不是方程x+4=7的解。

類似地當x=5不等式x+4>7成立,那么x=5是不等式x+4>7的一個解。若x=2不等式x+4>7不成立,那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意:1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似,但它們的解的情況卻有重大的區(qū)別。一般地說,一元方程只有一個或幾個解;而含有未知數(shù)的不等式,一般都有無數(shù)多個解。

例如:x+6=5只有一個解x=-1,在數(shù)軸上表示出來只是一個點,如圖,

而不等式x+6>5則有無數(shù)多個解-----大于-1的任何一個數(shù)都是它的解。它的解集是x>-1,在數(shù)軸上表示出來是一個區(qū)間,如圖


2、符號“≥”讀作“大于或等于”或也可以理解為“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”或可以理解為“不大于”。

例如;在數(shù)軸上表示出下列各式:
(1)x≥2 (2)x<-2 (3)x>1 (4)x≤-1

解:
x≥2 x<-2 x>1 x≤-1

3、不等式解法與方程的解法類比。

從形式上看,一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學習一元一次方程時利用等式的兩個基本性質(zhì)求得一元一次方程解,按“類比”思想考慮問題自然會推斷出若用不等式的三條基本性質(zhì),采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式,可求得一元一次不等式的解集。

例如:解下列方程和不等式:
=+1

+1

解:3(2+x)=2(2x-1)+6 1、去分母: 解:3(2+x)≥2(2x-1)+6
6+3x=4x-2+6 2、去括號: 6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 3、移項: 3x-4x≥-2+6-6
-x=-2 4、合并同類項: -x≥-2
x=2 5、系數(shù)化為1: x≤2
∴ x=2是原方程的解 ∴ x≤2是原不等式的解集。



注意:解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同,但是要注意步驟1和5,如果乘數(shù)或除數(shù)是負數(shù)時,解不等式時要改變不等號的方向。

六、帶有附加條件的不等式:

例1,求不等式(3x+4)-3≤7的較大整數(shù)解。

分析:此題是帶有附加條件的不等式,這時應(yīng)先求不等式的解集,再在解集中,找出滿足附加條件的解。 [!--empirenews.page--]

解: (3x+4)-

3≤7
去分母: 3x+4-6≤14
移項: 3x≤14-4+6
合并同類項: 3x≤16
系數(shù)化為1: x≤5
∴ x≤5的較大整數(shù)解為x=5

例2,x取哪些正整數(shù)時,代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值?

解:依題意需求不等式3-的解集。
解這個不等式:
去分母:24-2(x-1)≥3(x+2)
去括號: 24-2x+2≥3x+6
移項: -2x-3x≥6-24-2
合并同類項

: -5x≥-20
系數(shù)化為1: x≤4
∴ x=4的正整數(shù)為x=1, 2, 3, 4.

答:當x取1, 2, 3, 4時,代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值。
例3,當k取何值時,方程x-2k=3(x-k)+1的解為負數(shù)。

分析:應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程,即找到x的表達式,再解帶有附加條件的不等式。

解:解關(guān)于x的方程:x-2k=3(x-k)+1
去分母: x-4k=6(x-k)+2
去括號: x-4k=6x-6k+2
移項: x-6x=-6k+2+4k
合并同類項: -5x=2-2k
系數(shù)化為1: x==

.
要使x為負數(shù),即x=<0,
∵ 分母>0,∴ 2k-2<0, ∴ k<1,
∴ 當k<1時,方程x-2k=3(x-k)+1的解是負數(shù)。

例4,若|3x-6|+(2x-y-m)2=0,求m為何值時y為正數(shù)。

分析:目前我們學習過的兩個非負數(shù)問題,一個是少有值為非負數(shù),另一個是完全平方數(shù)是非負數(shù)。由非負數(shù)的概念可知,兩個非負數(shù)的和等于0,則這兩個非負數(shù)只能為零。由這個性質(zhì)此題可轉(zhuǎn)化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關(guān)于m的不等式。

解:∵ |3x-6|+(2x-y-m)2=0,

解方程組得


要使y為正數(shù),即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 當m<4時,y為正數(shù)。

注意:要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負數(shù)”、“正數(shù)”、“負數(shù)”、“負整數(shù)”……這些描述不等關(guān)系的語言所對應(yīng)的不等號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解,即這個不等式的解集,然后再從中篩選出符合要求的解。 [!--empirenews.page--]

七、字母系數(shù)的不等式:

例:解關(guān)于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3

分析:由于x是未知數(shù),所以應(yīng)把a看作已知數(shù),又由于a可以是任意有理數(shù),所以在應(yīng)用同解原理時,要區(qū)別情況,進行分類討論。

解:移項,得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同類項: (a+3)x≥3-3a
(1)當a+3>0,即a>-3時,x≥,
(2)當a+3=0,即a=-3時,0x≥12,不等式無解。
(3)當a+3<0,即a<-3時,x≤

注意:在處理字母系數(shù)的不等式時,首先要弄清哪一個字母是未知數(shù),而把其他字母看作已知數(shù),在運用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時,應(yīng)作合理的分類,逐一討論,例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三種情況進行研究,才有完整地解出不等式,這種處理問題的方法叫做“分類討論”。

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