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高中數(shù)學壓軸題總結(jié)——④新題型

2011-04-06 16:23:12  來源:智康1對1

    所謂新題型,就是一些創(chuàng)新題型,大部分是依照相關(guān)人員給予的框架解題,其沒有常規(guī)思路,完全靠孩子自己分析題意,尋找解題方法,意義在于培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新能力,以及發(fā)現(xiàn)問題,尋找方法的能,創(chuàng)新題沒有常規(guī)解法,但是,有常規(guī)解題思路。并且是只有一種思路。下面,就有我來介紹這一常規(guī)思路。

 

1. 猜想法

 

    猜想法廣泛應用于創(chuàng)新題的解題過程中,面對一道創(chuàng)新題,首先要做的就是觀察,尋找特殊值,通過特殊值尋找規(guī)律,就如較后一道壓軸大題一般,往往通過猜想,證明出先進問。

 

2. 尋找數(shù)學關(guān)系

 

    這個是解創(chuàng)新題的較為關(guān)鍵的步驟,通過對特殊值的觀察,尋找出這些特殊值的關(guān)系,可以畫出圖像的題一定要畫出圖像。

 

3. 大膽猜想,小心論證

 

    這些數(shù)學關(guān)系往往超出我們常規(guī)的想象,我們盡量的大膽進行猜想,然后進行小心的論證,要有一種數(shù)學的“直覺”。

 

4. 歸納與總結(jié)

 

    總結(jié)出這些特殊值的規(guī)律,通過規(guī)律以及題設條件,將這些規(guī)律抽象化,公式化。

 

5. 總結(jié)出一般性的規(guī)律,進而用于解題。

 

    總而言之,言而總之,創(chuàng)新題的思路在于由特殊到一般,關(guān)鍵是在于找出這些特殊值的數(shù)學關(guān)系。

 

    下面以去年一模試題為例。

 

 

      對于這道題而言,大家恐怕先進反應都是數(shù)列的遞推,但是,對于f(x)在0與1單調(diào)遞增的條件顯然就用不到了,所以,此題少有不是用遞推的方法。

  作為一道創(chuàng)新提,我們按照以上步驟進行解答。

  1.猜想,尋找特殊值
  我們可以看到f(0)=0所以f(1)=1當然,這個是較顯而易見的。當發(fā)現(xiàn)f(1)=1時,通過第二個式子不難看出f(1/5)=1/2。然后還有什么特殊值呢?我們還能發(fā)現(xiàn)一個比較隱蔽的東西,那就是f(1/2)=1/2。于是,基本所有的特殊值都找全了。
  2.尋找特殊值的關(guān)系
  很有意思,我們可以發(fā)現(xiàn)f(1/5)=1/2與f(1/2)=1/2,他倆是相等的,看到這里,我們是不是靈機一動呢?因為這個函數(shù)是一個非嚴格單調(diào)遞增函數(shù)。那為什么f(1/5)=1/2與f(1/2)=1/2會相等呢?這就是特殊值之間的數(shù)學關(guān)系。
  3.大膽猜想,小心論證。
  既然f(1/5)與f(1/2)是相等的,并且函數(shù)是非嚴格單調(diào)遞增的,所以,f(1/5)與f(1/2)之間的所有值一定等于1/2!
  4.歸納與總結(jié)
  既然f(1/5)與f(1/2)之間的所有值等于1/2,那么通過第二個式子不難看出f(1/25)與f(1/10)的關(guān)系,他倆都等于1/4,于是,我們是不是可以歸納總結(jié)出:這么遞推下去,是不是肯定能有兩個數(shù)把1/2010夾在其中呢?
  5.總結(jié)一般規(guī)律,用于解出答案
  所以,我們就這樣遞推下去,較終可以解出答案,1/32。

 

 

 

  對于這種兩問的填空題,先進步就是為第二部做鋪墊的。并且往往,先進步是讓我們尋找特殊值,然后通過尋找特殊值的關(guān)系,我們得出關(guān)系,解出第二問。
  依然是以上的方法。
  1。猜想,尋找特殊值
  往往先進步是比較容易的,通過觀察與猜想,我們不難發(fā)現(xiàn)先進問的答案即
  2,3,1,4與2,3,4,1。
  2。尋找特殊值的關(guān)系
  我們可以發(fā)現(xiàn),較后一位數(shù)字的對應貌似不是1就是它本身。
  3。大膽猜想小心論證
  是不是如此呢,如果較后一位數(shù)既不是1,又不是4,那么,它會是哪個數(shù)字呢?很顯然,他只能是前面的幾個數(shù)字,比如說2,那么此時,2就不符合優(yōu)映射了,因為2對應的2值是在4上,所以,較后一位數(shù)不是1就是4。
  4。歸納與總結(jié)
  既然較后一位數(shù)不是1,就一定是4。那么對于第二問而言,f(1004)=1,那么f(2010)=?顯然,其不能等于1了,那么,它必須等于2010,同理,f(2009)=?顯然它也不等于1,那么,為了滿足優(yōu)映射,它也只能等于它本身了,就這樣遞推出來,f(1004)以后的所有值都必須等于它本身。那么怎么求出較大值呢?我們知道f(1004)=1,f(1007)=1007。所以f(1000)較大就只能等于1004了。
  5總結(jié)一般規(guī)律,得到正確答案
  所以,此題的答案就為1007+1004=2011

 
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