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百雞問題,現(xiàn)代數(shù)學(xué)用不定方程求解,在小學(xué)階段,不少同學(xué)都是用拼湊的辦法來解決。這里介紹一種新方法,對小孩子很適用……
《張丘建算經(jīng)》中有這樣一題:公雞每只值5文錢,母雞每只值3文錢,小雞每3只值1文錢,F(xiàn)在用100文錢買100只雞,公雞、母雞、小雞各有多少只?
這是中國古代算術(shù)中的一類典型問題——百雞問題,現(xiàn)代數(shù)學(xué)用不定方程求解,在小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)題解題中,不少同學(xué)都是用拼湊的辦法來解決。這里介紹一種新方法,對小孩子很適用。
1、求倍數(shù)。每只公雞值5文錢,每只母雞值3文錢,每只小雞值1/3文錢。以較便宜的小雞為標(biāo)準(zhǔn),公雞和母雞的價格分別是小雞的5÷1/3=15倍和3÷1/3=9倍。
2、算超額。假設(shè)100文錢全部買小雞,可買100÷1/3=300只,超出實(shí)有三種雞總數(shù)300-100=200只。
3、組等式。由于公雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的15-1=14倍,母雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的9-1=8倍。不難理解,上述假設(shè)中多出的200只即為公雞和母雞置換成小雞后一共增加的只數(shù),關(guān)系式為:公雞只數(shù)×14+母雞只數(shù)×8=200.
4、試結(jié)果。一般來說,不定方程的正整數(shù)解按關(guān)系式就可以觀察得到。我們也可以先把等式變形,觀察起來更為容易。方法是,在等式兩邊同時除以一個相同的數(shù)(0除外),得到等式右邊為整數(shù),左邊只有一項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式。
在上式兩邊同時除以8,得到:公雞只數(shù)×7/4+母雞只數(shù)=25.顯然,公雞只數(shù)必須是4的倍數(shù)。這樣,從“4”起,依次用4的倍數(shù)去試算,可以得出三種情況:公雞4只,母雞18只,小雞78只;或公雞8只,母雞11只,小雞81只;或公雞12只,母雞4只,小雞84只。
下面再舉一例來驗(yàn)證。
大數(shù)學(xué)家歐拉曾提出過這樣的問題:一頭豬321(312)銀幣,一只山羊131(113)銀幣,一只綿羊21(1/2)銀幣。有人用100個銀幣,買了100頭牲畜。問:豬、山羊、綿羊各多少?
豬的單價是綿羊的312÷1/2=7倍,山羊的單價是綿羊的113÷1/2=223倍,豬和山羊分別置換成綿羊,可多出自身只數(shù)的7-1=6倍和223-1=123倍。如果100個銀幣都買綿羊,可買100÷1/2=200只,超出實(shí)有牲畜頭數(shù)200-100=100頭,這100頭就是豬和山羊換成綿羊后多出的頭數(shù),列式:豬×6+山羊×123=100.顯然,山羊的只數(shù)應(yīng)是“3”的倍數(shù),可以推算得到:豬15頭,山羊6只,綿羊79只;或豬10頭,山羊24只,綿羊66只;或豬5頭,山羊42只,綿羊53只。
上述解法,我們可以用代數(shù)知識來幫助分析。
在先進(jìn)題里,設(shè)公雞、母雞、小雞分別有X、Y、Z只,列出兩個方程(方程組)X+Y+Z=100……①5X+3Y+13Z=100……②,將方程②乘以3,就是15X+9Y+Z=300,與方程①相減(消去Z),得出14X+8Y=200,兩邊同時除以8,就是74X+Y=25.顯然X只能是4的倍數(shù),依次試算,就能得到與前面相同的答案來。
這樣一來,我們就會明白,所謂的“新法”,其實(shí)也并不新鮮,不過就是先用“消元法”把“三元”不定方程組演變成一個“二元”不定方程,然后有意識地將這個方程的某一個求知數(shù)的系數(shù)變成分?jǐn)?shù)形式,便于觀察這個未知數(shù)的值,其它未知數(shù)就不難推算了。
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小一至小五年級期末試題答案