小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)之百雞問題及解析

2011-09-13 11:13:15 　來源：網(wǎng)絡(luò)來源

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　　百雞問題，現(xiàn)代數(shù)學(xué)用不定方程求解，在小學(xué)階段，不少同學(xué)都是用拼湊的辦法來解決。這里介紹一種新方法，對小孩子很適用……

　　《張丘建算經(jīng)》中有這樣一題：公雞每只值5文錢，母雞每只值3文錢，小雞每3只值1文錢�，F(xiàn)在用100文錢買100只雞，公雞、母雞、小雞各有多少只？

　　這是中國古代算術(shù)中的一類典型問題——百雞問題，現(xiàn)代數(shù)學(xué)用不定方程求解，在小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)題解題中，不少同學(xué)都是用拼湊的辦法來解決。這里介紹一種新方法，對小孩子很適用。

　　1、求倍數(shù)。每只公雞值5文錢，每只母雞值3文錢，每只小雞值1/3文錢。以較便宜的小雞為標(biāo)準(zhǔn)，公雞和母雞的價格分別是小雞的5÷1/3=15倍和3÷1/3=9倍。

　　2、算超額。假設(shè)100文錢全部買小雞，可買100÷1/3=300只，超出實(shí)有三種雞總數(shù)300-100=200只。

　　3、組等式。由于公雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的15-1=14倍，母雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的9-1=8倍。不難理解，上述假設(shè)中多出的200只即為公雞和母雞置換成小雞后一共增加的只數(shù)，關(guān)系式為：公雞只數(shù)×14+母雞只數(shù)×8=200.

　　4、試結(jié)果。一般來說，不定方程的正整數(shù)解按關(guān)系式就可以觀察得到。我們也可以先把等式變形，觀察起來更為容易。方法是，在等式兩邊同時除以一個相同的數(shù)（0除外），得到等式右邊為整數(shù)，左邊只有一項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式。

　　在上式兩邊同時除以8，得到：公雞只數(shù)×7/4+母雞只數(shù)=25.顯然，公雞只數(shù)必須是4的倍數(shù)。這樣，從“4”起，依次用4的倍數(shù)去試算，可以得出三種情況：公雞4只，母雞18只，小雞78只；或公雞8只，母雞11只，小雞81只；或公雞12只，母雞4只，小雞84只。

　　下面再舉一例來驗(yàn)證。

　　大數(shù)學(xué)家歐拉曾提出過這樣的問題：一頭豬321（312）銀幣，一只山羊131（113）銀幣，一只綿羊21（1/2）銀幣。有人用100個銀幣，買了100頭牲畜。問：豬、山羊、綿羊各多少？

　　豬的單價是綿羊的312÷1/2=7倍，山羊的單價是綿羊的113÷1/2=223倍，豬和山羊分別置換成綿羊，可多出自身只數(shù)的7-1=6倍和223-1=123倍。如果100個銀幣都買綿羊，可買100÷1/2=200只，超出實(shí)有牲畜頭數(shù)200-100=100頭，這100頭就是豬和山羊換成綿羊后多出的頭數(shù)，列式：豬×6+山羊×123=100.顯然，山羊的只數(shù)應(yīng)是“3”的倍數(shù)，可以推算得到：豬15頭，山羊6只，綿羊79只；或豬10頭，山羊24只，綿羊66只；或豬5頭，山羊42只，綿羊53只。

　　上述解法，我們可以用代數(shù)知識來幫助分析。

　　在先進(jìn)題里，設(shè)公雞、母雞、小雞分別有X、Y、Z只，列出兩個方程（方程組）X+Y+Z=100……①5X+3Y+13Z=100……②，將方程②乘以3，就是15X+9Y+Z=300，與方程①相減（消去Z），得出14X+8Y=200，兩邊同時除以8，就是74X+Y=25.顯然X只能是4的倍數(shù)，依次試算，就能得到與前面相同的答案來。

　　這樣一來，我們就會明白，所謂的“新法”，其實(shí)也并不新鮮，不過就是先用“消元法”把“三元”不定方程組演變成一個“二元”不定方程，然后有意識地將這個方程的某一個求知數(shù)的系數(shù)變成分?jǐn)?shù)形式，便于觀察這個未知數(shù)的值，其它未知數(shù)就不難推算了。