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三角形復(fù)習(xí)
⒈ 三角形的定義:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊,三個(gè)內(nèi)角,三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn), 三角形ABC用符號表示為△ABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
注意:(1)三條線段要不在同一直線上,且首尾順次相接;
(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形;
(3)△ABC是三角形ABC的符號標(biāo)記,單獨(dú)的△沒有意義.
、 三角形的分類:
(1)按邊分類:
(2)按角分類:
、 三角形的主要線段的定義:
(1)三角形的中線
三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段.
表示法:1.AD是△ABC的BC上的中線.
2.BD=DC=BC.
注意:①三角形的中線是線段;
、谌切稳龡l中線全在三角形的內(nèi)部;
、廴切稳龡l中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn);
、苤芯把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.
(2)三角形的角平分線
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段
表示法:1.AD是△ABC的∠BAC的平分線.
2.∠1=∠2=∠BAC.
注意:①三角形的角平分線是線段;
、谌切稳龡l角平分線全在三角形的內(nèi)部;
③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn);
、苡昧拷瞧鳟嬋切蔚慕瞧椒志.
(3)三角形的高
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段.
表示法:1.AD是△ABC的BC上的高線.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意:①三角形的高是線段;
、阡J角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部,直角三角形有兩條高是邊,鈍角三角形有兩條高在形外;
、廴切稳龡l高所在直線交于一點(diǎn).
、 三角形的主要線段的表示法:
三角形的角平分線的表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
、貯D是DABC的角平分線;
、贏D平分∠BAC,交BC于D;
、 如果AD是DABC的角平分線,那么∠BAD=∠DAC=∠BAC.
(2)三角形的中線表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
、貯E是DABC的中線;
、贏E是DABC中BC邊上的中線;
③如果AE是DABC的中線,那么BE=EC=BC.
(3)三角線的高的表示法:
如圖2,根據(jù)具體情況,使用以下任意一種方式表示:
①AM是DABC的高;
、贏M是DABC中BC邊上的高;
、廴绻鸄M是DABC中BC邊上高,那么AM^BC,垂足是E;
、苋绻鸄M是DABC中BC邊上的高,那么∠AMB=∠AMC=90°.
、 在畫三角形的三條角平分線,三條中線,三條高時(shí)應(yīng)注意:
(1)如圖3,三角形三條角平分線交于一點(diǎn),交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
(2)如圖4,三角形的三條中線交點(diǎn)一點(diǎn),交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
如圖5,6,7,三角形的三條高交于一點(diǎn),銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)上.
⒍三角形的三邊關(guān)系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.
注意:(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是:兩點(diǎn)之間線段是短;
(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.
、 三角形的角與角之間的關(guān)系:
(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;
(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
三角形的內(nèi)角和定理
定理:三角形的內(nèi)角和等于180°.
推論:直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
推理過程:
一、作CM∥AB,則∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=1800,
即∠A+∠B+∠ACB=1800.
二、作MN∥BC,則∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=1800,
即∠BAC+∠B+∠C=1800.
注意:(1)證明的思路很多,基本思想是組成平角.
。2)應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個(gè)角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求三個(gè)角.
三角形的外角的定義
三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.
注意:每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角,但這兩個(gè)外角是對頂角.
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.
所以說一個(gè)三角形有六個(gè)外角,但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處
只選一個(gè)外角,這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.
三角形外角的性質(zhì)
。1)三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.
。2)三角形的一個(gè)角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
注意:(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視;
。2)作CM∥AB由于B、C、D共線
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
8.三角形的穩(wěn)定性:
三角形的三邊長確定,則三角形的形狀就確定,這叫做三角形的穩(wěn)定性.
注意:(1)三角形具有穩(wěn)定性;
(2)四邊形沒有穩(wěn)定性.
適當(dāng)添加輔助線,尋找基本圖形
(1)基本圖形一,如圖8,在DABC中,AB=AC,B,A,D成一條直線,則∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.
(2)基本圖形二,如圖9,如果CO是∠AOB的角平分線,DE∥OB交OA,OC于D,E,那么DDOE是等腰三角形,DO=DE.當(dāng)幾何問題的條件和結(jié)論中,或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線,平行線,等腰三角形三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí),就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形,并立即推證出第三個(gè)作為結(jié)論.即:角平分線+平行線→等腰三角形.
基本圖形三,如圖10,如果BD是∠ABC的角平分線,M是AB上一點(diǎn),MN^BD,且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN,即DBMN是等腰三角形,且MP=NP,即:角平分線+垂線→等腰三角形.
當(dāng)幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時(shí),就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形,如等腰三角形不完整就應(yīng)將基本圖形補(bǔ)完整。
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