七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理第六章：三角形

　　三角形復(fù)習(xí)

　　⒈ 三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.

　　三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)， 三角形ABC用符號表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

　　注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；

　　（2）三角形是一個(gè)封閉的圖形；

　　（3）△ABC是三角形ABC的符號標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義．

　�、� 三角形的分類：

　　(1)按邊分類：

　　(2)按角分類：

　�、� 三角形的主要線段的定義：

　　（1）三角形的中線

　　三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．

　　表示法：1.AD是△ABC的BC上的中線.

　　2.BD=DC=BC.

　　注意：①三角形的中線是線段；

　�、谌�角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；

　�、廴�角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

　�、苤芯�把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．

　　（2）三角形的角平分線

　　三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段

　　表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分線.

　　2.∠1=∠2=∠BAC.

　　注意：①三角形的角平分線是線段；

　�、谌�角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；

　　③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

　�、苡昧拷瞧鳟嬋�角形的角平分線．

　　（3）三角形的高

　　從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．

　　表示法：1.AD是△ABC的BC上的高線.

　　2.AD⊥BC于D.

　　3.∠ADB=∠ADC=90°.

　　注意：①三角形的高是線段；

　�、阡J角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；

　�、廴�角形三條高所在直線交于一點(diǎn)．

　�、� 三角形的主要線段的表示法：

　　三角形的角平分線的表示法：

　　如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：

　�、貯D是DABC的角平分線；

　�、贏D平分∠BAC，交BC于D；

　�、� 如果AD是DABC的角平分線，那么∠BAD=∠DAC=∠BAC.

　　(2)三角形的中線表示法：

　　如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：

　�、貯E是DABC的中線；

　�、贏E是DABC中BC邊上的中線；

　　③如果AE是DABC的中線，那么BE=EC=BC.

　　(3)三角線的高的表示法：

　　如圖2，根據(jù)具體情況，使用以下任意一種方式表示：

　　①AM是DABC的高；

　�、贏M是DABC中BC邊上的高；

　�、廴绻鸄M是DABC中BC邊上高，那么AM^BC，垂足是E；

　�、苋绻鸄M是DABC中BC邊上的高，那么∠AMB=∠AMC=90°.

　�、� 在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時(shí)應(yīng)注意：

　　(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.

　　(2)如圖4，三角形的三條中線交點(diǎn)一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.

　　如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)上.

　　⒍三角形的三邊關(guān)系

　　三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.

　　注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；

　　（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

　�、� 三角形的角與角之間的關(guān)系：

　　(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;

　　(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

　　(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

　　(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

　　三角形的內(nèi)角和定理

　　定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．

　　推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

　　推理過程：

　　一、作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，

　　即∠A+∠B+∠ACB=1800．

　　二、作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，

　　即∠BAC+∠B+∠C=1800．

　　注意：（1）證明的思路很多，基本思想是組成平角．

　�。�2）應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個(gè)角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求三個(gè)角．

　　三角形的外角的定義

　　三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

　　注意：每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)外角是對頂角.

　　如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

　　所以說一個(gè)三角形有六個(gè)外角，但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處

　　只選一個(gè)外角，這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.

　　三角形外角的性質(zhì)

　�。�1）三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．

　�。�2）三角形的一個(gè)角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．

　　注意：（1）它不相鄰的內(nèi)角不容忽視；

　�。�2）作CM∥AB由于B、C、D共線

　　∴∠A=∠1，∠B=∠2.

　　即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

　　那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

　　8．三角形的穩(wěn)定性：

　　三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性．

　　注意：（1）三角形具有穩(wěn)定性；

　　（2）四邊形沒有穩(wěn)定性.

　　適當(dāng)添加輔助線，尋找基本圖形

　　(1)基本圖形一，如圖8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，則∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.

　　(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.當(dāng)幾何問題的條件和結(jié)論中，或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線，平行線，等腰三角形三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，并立即推證出第三個(gè)作為結(jié)論.即：角平分線+平行線→等腰三角形.

　　基本圖形三，如圖10，如果BD是∠ABC的角平分線，M是AB上一點(diǎn)，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線+垂線→等腰三角形.

　　當(dāng)幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，如等腰三角形不完整就應(yīng)將基本圖形補(bǔ)完整。