掃描注冊有禮
讓進(jìn)步看得見
熱門課程先知道
預(yù)約高中1對1精品課程(面授/在線),滿足學(xué)員個(gè)性化學(xué)習(xí)需求 馬上報(bào)名↓
題型一 定值、定點(diǎn)問題
例1 已知橢圓C:+=1經(jīng)過點(diǎn)(0,),離心率為,直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且=λ,=μ,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),探求λ+μ的值是否為定值?若是,求出λ+μ的值;否則,請說明理由.
破題切入點(diǎn) (1)待定系數(shù)法.
(2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程,代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式,然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ,=μ.把λ,μ用點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)表示出來,只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無關(guān)即證明了其為定值,否則就不是定值.
解 (1)依題意得b=,e==,a2=b2+c2,
∴a=2,c=1,∴橢圓C的方程為+=1.
(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M,故斜率存在,
又F坐標(biāo)為(1,0),設(shè)直線l方程為
y=k(x-1),求得l與y軸交于M(0,-k),
設(shè)l交橢圓A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),
∴λ=,同理μ=,
∴λ+μ=+=
所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線λ+μ的值為定值-.
題型二 定直線問題
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn),求△ANB面積的較小值;
(2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.
破題切入點(diǎn) 假設(shè)符合條件的直線存在,求出弦長,利用變量的系數(shù)恒為零求解.
解 方法一 (1)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p),
可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB的方程為y=kx+p,
與x2=2py聯(lián)立得
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2,
∴當(dāng)k=0時(shí),(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,
AC的中點(diǎn)為O′,l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,
則O′H⊥PQ,Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).
∵O′P=AC==,
O′H==|2a-y1-p|,
∴PH2=O′P2-O′H2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a),
∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].
令a-=0,得a=,
此時(shí)PQ=p為定值,故滿足條件的直線l存在,
其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線.
方法二 (1)前同方法一,再由弦長公式得
AB=|x1-x2|
=·
=·
=2p·,
又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.
從而S△ABN=·d·AB
=·2p··
=2p2.
∴當(dāng)k=0時(shí),(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,
則以AC為直徑的圓的方程為
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,
將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,
則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)].
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3,y3),Q(x4,y4),
則有PQ=|x3-x4|=
=2.
令a-=0,得a=,
此時(shí)PQ=p為定值,故滿足條件的直線l存在,
其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線.
題型三 定圓問題
例3 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△AkF1F2的面積;
(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)定義,待定系數(shù)法求方程.
(2)直接求.
(3)關(guān)鍵看長軸兩端點(diǎn).
解 (1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0),半焦距為c,則解得
所以b2=a2-c2=36-27=9.
所以所求橢圓G的方程為+=1.
(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(-k,2),
S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.
(3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;
若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知點(diǎn)(-6,0)在圓Ck外.
所以不論k為何值,圓Ck都不能包圍橢圓G.
即不存在圓Ck包圍橢圓G.
總結(jié)提高 (1)定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題,基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題,證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.
(2)由直線方程確定定點(diǎn),若得到了直線方程的點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).
(3)定直線問題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量+與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.
解 (1)由已知條件,得直線l的方程為y=kx+,
代入橢圓方程得+(kx+)2=1.
整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,
解得k<-或k>.
即k的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞).
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則+=(x1+x2,y1+y2),
由方程①,得x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
而A(,0),B(0,1),=(-,1).
所以+與共線等價(jià)于x1+x2=-(y1+y2),
將②③代入上式,解得k=.
由(1)知k<-或k>,
故不存在符合題意的常數(shù)k.
2.已知雙曲線方程為x2-=1,問:是否存在過點(diǎn)M(1,1)的直線l,使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在,求出直線的方程,如果不存在,請說明理由.
解 顯然x=1不滿足條件,設(shè)l:y-1=k(x-1).
聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1,
消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,
由Δ>0,得k<,x1+x2=,
由M(1,1)為PQ的中點(diǎn),得==1,
解得k=2,這與k<矛盾,
所以不存在滿足條件的直線l.
3.設(shè)橢圓E:+=1(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且⊥?若存在,寫出該圓的方程,并求AB的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解 (1)因?yàn)闄E圓E:+=1(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),
所以解得
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且⊥,設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程組得x2+2(kx+m)2=8,
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0.
故
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
要使⊥,需使x1x2+y1y2=0,
即+=0,
所以3m2-8k2-8=0,
所以k2=≥0.
又8k2-m2+4>0,所以所以m2≥,
即m≥或m≤-,
因?yàn)橹本y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為r=,
r2===,r=,
所求的圓為x2+y2=,
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-,
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±與橢圓+=1的兩個(gè)交點(diǎn)為(,±)或(-,±)滿足⊥,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且⊥.
4.(2014·重慶)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請說明理由.
解 (1)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2,得DF1==c,
從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=,故c=1,
從而DF1=.
由DF1⊥F1F2,得DF=DF+F1F=,
因此DF2=.
所以2a=DF1+DF2=2,
故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對稱性,易知,x2=-x1,y1=y2.
由(1)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),
再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y=0.
由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x1=0,
解得x1=-或x1=0.
當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)x1=-時(shí),過P1,P2分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.
設(shè)C(0,y0),
由CP1⊥F1P1,得·=-1.
而求得y1=,故y0=.
圓C的半徑CP1= =.
綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,
其方程為x2+(y-)2=.
5.(2014·江西)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:MN-MN為定值,并求此定值.
(1)證明 依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2,
代入x2=4y,
得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8.
直線AO的方程為y=x;
BD的方程為x=x2.
解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
注意到x1x2=-8及x=4y1,
則有y===-2.
因此動(dòng)點(diǎn)D在定直線y=-2上(x≠0).
(2)解 依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0.
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2.
故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
分別令y=2,y=-2得N1,N2的坐標(biāo)為
N1(+a,2),N2(-+a,-2),
則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8,
即MN-MN為定值8.
6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
(1)求曲線Γ的方程.
(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
解 方法一 (1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn),
依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長度不變.證明如下:
由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2,
設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=x,
由y′=x,得切線l的斜率
k=y′|x=x0=x0,
所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),
即y=x0x-x.
由得A(x0,0).
由得M(x0+,3).
又N(0,3),所以圓心C(x0+,3),
半徑r=MN=|x0+|,
AB=
= =.
所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長度不變.
方法二 (1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn),
則|y-(-3)|-=2,
依題意,點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,
化簡,得曲線Γ的方程為x2=4y.
大家都在看