2016年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)題（四）

2016-04-27 14:19:22 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　題型一　定值、定點(diǎn)問題

　　例1　已知橢圓C：+=1經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).

　　(1)求橢圓C的方程;

　　(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ，=μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否則，請說明理由.

　　破題切入點(diǎn)　(1)待定系數(shù)法.

　　(2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ，=μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值.

　　解　(1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，

　　∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.

　　(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，

　　又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為

　　y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，

　　設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由

　　消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

　　∴x1+x2=，x1x2=，

　　又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

　　∴λ=，同理μ=，

　　∴λ+μ=+=

　　所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ+μ的值為定值-.

　　題型二　定直線問題

　　例2　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn).

　　(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的較小值;

　　(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由.

　　破題切入點(diǎn)　假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解.

　　解　方法一　(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，

　　可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　直線AB的方程為y=kx+p，

　　與x2=2py聯(lián)立得

　　消去y得x2-2pkx-2p2=0.

　　由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

　　于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

　　=p|x1-x2|=p

　　=p=2p2，

　　∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，

　　AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，

　　則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).

　　∵O′P=AC==，

　　O′H==|2a-y1-p|，

　　∴PH2=O′P2-O′H2

　　=(y+p2)-(2a-y1-p)2

　　=(a-)y1+a(p-a)，

　　∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　令a-=0，得a=，

　　此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，

　　其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.

　　方法二　(1)前同方法一，再由弦長公式得

　　AB=|x1-x2|

　　=·

　　=2p·，

　　又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.

　　從而S△ABN=·d·AB

　　=·2p··

　　=2p2.

　　∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，

　　則以AC為直徑的圓的方程為

　　(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

　　將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

　　則Δ=x-4(a-p)(a-y1)

　　=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

　　則有PQ=|x3-x4|=

　　=2.

　　令a-=0，得a=，

　　此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，

　　其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.

　　題型三　定圓問題

　　例3　已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.

　　(1)求橢圓G的方程;

　　(2)求△AkF1F2的面積;

　　(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.

　　破題切入點(diǎn)　(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程.

　　(2)直接求.

　　(3)關(guān)鍵看長軸兩端點(diǎn).

　　解　(1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c，則解得

　　所以b2=a2-c2=36-27=9.

　　所以所求橢圓G的方程為+=1.

　　(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(-k,2)，

　　S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.

　　(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;

　　若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知點(diǎn)(-6,0)在圓Ck外.

　　所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.

　　即不存在圓Ck包圍橢圓G.

　　總結(jié)提高　(1)定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.

　　(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0);若得到了直線方程的斜截式：y=kx+m，則直線必過定點(diǎn)(0，m).

　　(3)定直線問題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.

　　1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.

　　(1)求k的取值范圍;

　　(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線?如果存在，求k值;如果不存在，請說明理由.

　　解　(1)由已知條件，得直線l的方程為y=kx+，

　　代入橢圓方程得+(kx+)2=1.

　　整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①

　　直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，

　　解得k<-或k>.

　　即k的取值范圍為(-∞，-)∪(，+∞).

　　(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則+=(x1+x2，y1+y2)，

　　由方程①，得x1+x2=-.②

　　又y1+y2=k(x1+x2)+2.③

　　而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).

　　所以+與共線等價(jià)于x1+x2=-(y1+y2)，

　　將②③代入上式，解得k=.

　　由(1)知k<-或k>，

　　故不存在符合題意的常數(shù)k.

　　2.已知雙曲線方程為x2-=1，問：是否存在過點(diǎn)M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由.

　　解　顯然x=1不滿足條件，設(shè)l：y-1=k(x-1).

　　聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1，

　　消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，

　　由Δ>0，得k<，x1+x2=，

　　由M(1,1)為PQ的中點(diǎn)，得==1，

　　解得k=2，這與k<矛盾，

　　所以不存在滿足條件的直線l.

　　3.設(shè)橢圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

　　(1)求橢圓E的方程;

　　(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥?若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍;若不存在，請說明理由.

　　解　(1)因?yàn)闄E圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，

　　所以解得

　　所以橢圓E的方程為+=1.

　　(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x2+2(kx+m)2=8，

　　即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，

　　則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.

　　故

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=-+m2

　　要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，

　　即+=0，

　　所以3m2-8k2-8=0，

　　所以k2=≥0.

　　又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，

　　即m≥或m≤-，

　　因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

　　所以圓的半徑為r=，

　　r2===，r=，

　　所求的圓為x2+y2=，

　　此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-，

　　而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±與橢圓+=1的兩個(gè)交點(diǎn)為(，±)或(-，±)滿足⊥，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥.

　　4.(2014·重慶)如圖，設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面積為.

　　(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在，求出圓的方程;若不存在，請說明理由.

　　解　(1)設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2=a2-b2.

　　由=2，得DF1==c，

　　從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，

　　從而DF1=.

　　由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，

　　因此DF2=.

　　所以2a=DF1+DF2=2，

　　故a=，b2=a2-c2=1.

　　因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

　　(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.

　　由圓和橢圓的對稱性，易知，x2=-x1，y1=y2.

　　由(1)知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，

　　所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，

　　再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.

　　由橢圓方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，

　　解得x1=-或x1=0.

　　當(dāng)x1=0時(shí)，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在.

　　當(dāng)x1=-時(shí)，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.

　　設(shè)C(0，y0)，

　　由CP1⊥F1P1，得·=-1.

　　而求得y1=，故y0=.

　　圓C的半徑CP1= =.

　　綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，

　　其方程為x2+(y-)2=.

　　5.(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2=4y，過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

　　(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;

　　(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：MN-MN為定值，并求此定值.

　　(1)證明　依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2，

　　代入x2=4y，

　　得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2=-8.

　　直線AO的方程為y=x;

　　BD的方程為x=x2.

　　解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為

　　注意到x1x2=-8及x=4y1，

　　則有y===-2.

　　因此動(dòng)點(diǎn)D在定直線y=-2上(x≠0).

　　(2)解　依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

　　即x2-4ax-4b=0.

　　由Δ=0得(4a)2+16b=0，化簡整理得b=-a2.

　　故切線l的方程可寫為y=ax-a2.

　　分別令y=2，y=-2得N1，N2的坐標(biāo)為

　　N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，

　　則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，

　　即MN-MN為定值8.

　　6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.

　　(1)求曲線Γ的方程.

　　(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.

　　解　方法一　(1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，

　　依題意，點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2=4y.

　　(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度不變.證明如下：

　　由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2，

　　設(shè)P(x0，y0)(x0≠0)，則y0=x，

　　由y′=x，得切線l的斜率

　　k=y′|x=x0=x0，

　　所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得A(x0,0).

　　由得M(x0+，3).

　　又N(0,3)，所以圓心C(x0+，3)，