高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)盤點(diǎn)圓錐曲線弦的中點(diǎn)問(wèn)題

2016-12-08 18:23:56 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　對(duì)于點(diǎn)差法本身的具體含義，我們?cè)谙旅娴睦又芯驼f(shuō)明。在這里只說(shuō)有關(guān)中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有以下兩種：已知斜率或者是已知直線上一點(diǎn)，其中已知直線上一點(diǎn)有一種特殊情況，那就是已知直線中點(diǎn)，當(dāng)然此時(shí)就不是求詭計(jì)，而是求其他參數(shù)，比如該直線方程啥的。如果沒(méi)錯(cuò)的話，貌似諸多參考書(shū)都只是利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題，很少求軌跡方程，在這里以此書(shū)中的幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明其進(jìn)一步的應(yīng)用。
　　
　�。ㄒ阎甭剩├}：求橢圓x2/16+y2/9=1中，斜率為k的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程
　　
　　解：設(shè)該縣與橢圓相交的兩點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為(x，y），則必然有：
　　
　　x1+x2=2x,y1+y2=2y
　　
　　x12/16+y12/9=1…………①
　　
　　x22/16+y22/9=1…………②
　　
　�、�-②并化簡(jiǎn)得到：
　　
　　(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
　　
　　因?yàn)?y1-y2)/(x1-x2)=k,x1+x2=2x,y1+y2=2y,令所以上式變成：
　　
　　x/16+ky/9=0
　　
　　這便是其中點(diǎn)的軌跡方程
　　
　�。ㄒ阎本€上一點(diǎn)）例題：給定雙曲線x2-y2/2=1,過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線L與給定雙曲線交于A，B，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程。
　　
　　解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)P為(x，y），則必然有：
　　
　　x1+x2=2x,y1+y2=2y
　　
　　x12-y12/2=1…………①
　　
　　x22-y22/2=1…………②
　　
　　(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0，與先進(jìn)題同理，設(shè)直線斜率為k，則該式子可以簡(jiǎn)化成：x-ky/2=0
　　
　　根據(jù)斜率公式有：k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2),帶入上式得：
　　
　　2x2-y2-4x+y=0
　　
　　這便是中點(diǎn)P的軌跡方程。
　　
　　舉這兩個(gè)例子，是想告訴大家點(diǎn)差法的應(yīng)用是很廣泛的，對(duì)于研究曲線中點(diǎn)問(wèn)題很有幫助，在上面的題目中有一些換算比較巧，這種感覺(jué)就靠自己平時(shí)的多加訓(xùn)練了，這里面的技巧當(dāng)然不止于此。

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