圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理易錯點

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圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理大匯總

　　圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理易錯點

 重、難點

重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．

難點：定理的靈活運用．

學(xué)習(xí)過程

(一)基本概念

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．

(二)創(chuàng)設(shè)研究情境

問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？

研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形(矩形、正方形、等腰梯形)

1、邊的性質(zhì)：

(1)矩形：對邊相等，對邊平行．

(2)正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．

(3)等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．

歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì)．

2、角的關(guān)系

猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．

(三)證明猜想

引導(dǎo)孩子證明．(參看思路)

思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢？21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有

思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結(jié)果呢？21教育網(wǎng)

(四)性質(zhì)及應(yīng)用

定理1 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.

定理2 圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角．

經(jīng)過上面的討論，我們得到了圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì).一個自然的想法是，它們的逆命題成立嗎？如果成立，就可以得到四邊形存在外接圓的判定定理.21cnjy.com

假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.

求證：A、B、C、D在同一圓周上(簡稱四點共圓).

分析：在不同一直線上的三點確定一個圓.經(jīng)過A、B、C三點作圓O.如果能夠由條件得到圓O過點D，那么就證明了命題.

顯然，圓O與點D有且只有三種關(guān)系：

(1)點D在圓外；

(2)點D在圓內(nèi)；

(3)點D在圓上.

只要證明在假設(shè)條件下只有(3)成立，也就證明了命題.

老師引導(dǎo)孩子完成證明.

可得：

圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓.

在圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明中，我們用分類思想對點D與A、B、C三點確定的圓的位置關(guān)系進(jìn)行探討，在每一種情形中都運用了反證法.當(dāng)問題存在多種情形時，通過對每一種情形分別論證，較后獲證結(jié)論的方法，稱為窮舉法.21·cn·jy·com

推論 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.

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