點到直線的距離公式

2018-07-26 16:26:42 　來源：網(wǎng)絡整理

　　點到直線的距離公式！點到直線距離是連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段較短，這條垂線段的長度。目標在于通過對點到直線距離公式的推導，提高孩子對數(shù)形結合的認識，加深用“”來處理“圖形”的意識。下面小編為大家分享點到直線的距離公式!希望能幫到大家！

　公式整理

一、總公式：設直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標為(Xo，Yo)，則點 P 到直線 L 的距離為：

考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)二、引申公式：公式①：設直線l1的方程為

;直線l2的方程為

則 2條平行線之間的間距：

公式②：設直線l1的方程為

;直線l2的方程為

則 2條直線的夾角

知識與技能目標：

(1)理解點到直線距離公式的推導過程，并且會使用公式求出定點到定直線的距離;

(2)了解兩條平行直線的距離公式，并能推導

過程與方法目標：(1)

通過對點到直線距離公式的推導，提高孩子對數(shù)形結合的認識，加深用“”來處理“圖形”的意識;(2)把兩條平行直線的距離關系轉化為點到直線距離。

證明方法

定義法證：根據(jù)定義，點P(x₀,y₀)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長，設點P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點Q的坐標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

二、函數(shù)法證：點P到直線上任意一點的距離的較小值就是點P到直線的距離。在上取任意點用兩點的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊系數(shù)處理得：當且僅當時取等號所以較小值就是

三、不等式法證：點P到直線上任意一點Q的距離的較小值就是點P到直線的距離。由柯西不等式：當且僅當時取等號所以較小值就是

四、轉化法證：設直線的傾斜角為過點P作PM∥ 軸交于M顯然所以易得∠MPQ= (圖2)或∠MPQ=(圖3)在兩種情況下都有所以

五、三角形法證：P作PM∥ 軸交于M，過點P作PN∥ 軸交于N(圖4)由解法三知;同理得在Rt△MPN中，PQ是斜邊上的高

六、參數(shù)方程法證：過點作直線交直線于點Q。(如圖1)由直線參數(shù)方程的幾何意義知，將代入得整理后得當時，我們討論與的傾斜角的關系：當為銳角時 ()有(圖2)當為鈍角時 ()有(圖3)得到的結果和上述形式相同，將此結果代入①得

七、向量法證：如圖五，設直線的一個法向量，Q直線上任意一點，則。從而點P到直線的距離為：

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