等差數(shù)列前n項(xiàng)和

2018-07-27 17:18:47 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和！等差數(shù)列的高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，不少同學(xué)們表示等差數(shù)列很難。等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列！愛智康小編今天就為大家等差數(shù)列前n項(xiàng)和！希望可以幫助大家。

　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和：

　　注意：n是正整數(shù)(相當(dāng)于n個等差中項(xiàng)之和)。等差數(shù)列前N項(xiàng)求和，實(shí)際就是梯形公式的妙用：上底為a1首項(xiàng)，下底為a1+(n-1)d，高為n。即：[a1+a1+(n-1)d]* n/2={2a1 n+ n (n-1)d} /2，也可寫成：

　　等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)：

　　推論：

　　(1)從通項(xiàng)公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項(xiàng)和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。

　　(2)從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

　　(3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數(shù)列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2*a(p)。

　　證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因?yàn)閙+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

　　(4)其他推論：

　�、� 和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2;

　�、陧�(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1;

　　③首項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)或末項(xiàng)-公差×(項(xiàng)數(shù)-1);

　�、苣╉�(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng);

　�、菽╉�(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差;

　�、�2(前2n項(xiàng)和-前n項(xiàng)和)=前n項(xiàng)和+前3n項(xiàng)和-前2n項(xiàng)和。

　　等差中項(xiàng)：

　　等差中項(xiàng)即等差數(shù)列頭尾兩項(xiàng)的和的一半，但求等差中項(xiàng)不一定要知道頭尾兩項(xiàng)。等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)一般設(shè)為A(r)。當(dāng)A(m),A(r),A(n)成等差數(shù)列時，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)為A(m)、A(n)的等差中項(xiàng)，且為數(shù)列的平均數(shù)。并且可以推知n+m=2×r，且任意兩項(xiàng)a(m)、a(n)的關(guān)系為：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相當(dāng)容易證明，它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

　　等差數(shù)列的應(yīng)用日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當(dāng)其中的較大尺寸與較小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級。若為等差數(shù)列，且有a(n)=m,a(m)=n。則a(m+n)=0。

　　其實(shí)，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問共織幾何?書中的解法是：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。這相當(dāng)于給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

　　等差數(shù)列的判定：

　　(1)a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(3)a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。

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