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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)!元旦過后就是緊張的期末診斷了。大家已經(jīng)是高三的苦孩子了,期末復(fù)習(xí)的時候,不要只考慮期末診斷,更要準(zhǔn)備高考,為了高考復(fù)習(xí)!函數(shù)是高考可能會考內(nèi)容,愛智康助力期末診斷,下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)希望對同學(xué)們有幫助!
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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(一)
函數(shù)的單調(diào)性(增減性)是函數(shù)的基本性質(zhì)之一,是高中數(shù)學(xué)必須掌握且能熟練運用的基礎(chǔ)知識。函數(shù)中函數(shù)值的變化方向與自變量的變化方向密切相關(guān),當(dāng)自變量的變化方向與函數(shù)值的變化方向一致時,函數(shù)圖象(曲線)是下降的,或者說是遞減的;反之,是上升的,或者說是遞增的,函數(shù)的這種性質(zhì)稱為單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間或整個定義域上的性質(zhì)。利用函數(shù)的單調(diào)性可以求函數(shù)在某個區(qū)間上的較大(小)值、可以比較兩個或多個函數(shù)值的大小、還可以解不等式及判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)。但在解決這些問題之前必須確定函數(shù)的單調(diào)性,即函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)。下面介紹幾種判斷函數(shù)增減性的方法。
一、利用函數(shù)單調(diào)性的定義判別
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:
如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間A上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1
在此定義中必須注意:
1.證明函數(shù)的單調(diào)性,必須嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義進(jìn)行,x1,x2具有三個特征:一是任意性,也就是說,x1,x2是任取的,證明單調(diào)性時不能用兩個特殊值隨意替換x1,x2;二是x1,x2有大小,通常規(guī)定x1
2.這個區(qū)間A可以是定義域I本身,也可以是定義域I的某個真子集。
3.不是所有的函數(shù)都具有單調(diào)性。
如函數(shù) ,它的定義域為R,但不具備單調(diào)性;又如Y=3x+2,x∈N+,它的定義域不是區(qū)間,也不能說它在定義域上具有單調(diào)性。
二、利用函數(shù)值與自變量的變化趨勢判別或利用函數(shù)圖象的“走勢”判別
當(dāng)函數(shù)值與自變量的變化趨勢 時,函數(shù)為 函數(shù)。
函數(shù)圖象(曲線)“從左到右走 坡路”,函數(shù)為 函數(shù)。
三、利用函數(shù)單調(diào)性的運算性質(zhì)判別
若函數(shù)f(x),g(x)在定義域區(qū)間A上具有單調(diào)性,則在區(qū)間A上具有下列性質(zhì):
①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性;
、诋(dāng)a>0時,f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)a<0時,f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性;
、廴鬴(x)恒不等于零,當(dāng)k>0時,f(x)與 具有相反的單調(diào)性;單k<0時,f(x)與 具有相同的單調(diào)性;
、墚(dāng)f(x)與g(x)都是 函數(shù)時,則f(x)+g(x)也是 函數(shù);
⑤若f(x)與g(x)都是 函數(shù)時。
當(dāng)f(x)>0且g(x)>0時,則f(x) g(x)是 函數(shù);
當(dāng)f(x)<0且g(x)<0時,則f(x) g(x)是 函數(shù)。
例 判斷函數(shù)f(x)=5x3- 在(0,+∞)上的單調(diào)性。
解:∵5x3在(0,+∞)上是增函數(shù);- 在(0,+∞)上是增函數(shù)。
∴f(x)=5x3- 在(0,+∞)上也是增函數(shù)。
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(二)
四、利用函數(shù)奇(偶)性的對稱性質(zhì)判別
因為 函數(shù)的圖象關(guān)于 成 圖形,所以 函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上具有 的單調(diào)性。即 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]與[-b,-a]上的單調(diào)性 。(0≤a
例2 設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上遞增,且有f(2a2+a+1)
解:∵f(x)在R上是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上遞增。
∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞減。
點評:解此題的關(guān)鍵是根據(jù)2a2+a+1>0,2a2-2a+3>0恒成立的性質(zhì),必須確定f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,而偶函數(shù)f(x)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間(-∞,0)與(0,+∞)上的單調(diào)性相反。
五、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
1.若一個復(fù)合函數(shù)由多個初等函數(shù)復(fù)合而成,則這個復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由復(fù)合成此函數(shù)的這多個初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定:當(dāng)初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時,復(fù)合函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時,復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)。即“偶增奇減”
2.當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]由兩個初等函數(shù)y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成時,其單調(diào)性為:當(dāng)y=f(u),u=g(x)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)時,y=f[g(x)]為增函數(shù):當(dāng)y=f(u),u=g(x)為一增函數(shù)一減函數(shù)時,y=f[g(x)]為減函數(shù)。即“同增異減”
例 求函數(shù)y=log2(x2+3x+2)的單調(diào)性
解:由x2+3x+2>0得x<―2或x>―1
∴函數(shù)定義域為(-∞,―2)∪(―1,+∞)
又∵y=log2(x2+3x+2)由函數(shù)y=log2u(u>0)與u=x2+3x+2(x<―2或x>―1)復(fù)合而成
當(dāng)x∈(-∞,―2)時,u=x2+3x+2為減函數(shù),也滿足u>0,y=log2u為增函數(shù)。
則y=log2(x2+3x+2)為減函數(shù);
當(dāng)x∈(―1,+∞)時,u=x2+3x+2為增函數(shù),也滿足u>0,y=log2u為增函數(shù)。
則y=log2(x2+3x+2)為增函數(shù)。
∴y=log2(x2+3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,―2);單調(diào)遞增區(qū)間為(―1,+∞)
六、導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用
設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)
、 如果恒有f`(x)>0,則函數(shù)f`(x)在(a,b)上為增函數(shù);
② 如果恒有f`(x)<0,則函數(shù)f`(x)在(a,b)上為減函數(shù);
、 如果f`(x)在區(qū)間(a,b)上遞 ,則在該區(qū)間上有 。
求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
①求f`(x) ②解不等式 ③確定結(jié)論: 的解集為單調(diào)遞 區(qū)間。
注意:當(dāng)f`(x)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零,在其余各點處都為 時,f`(x)在這區(qū)間上仍是單調(diào)遞 的,但是 并不是f`(x)為 函數(shù)的充分條件,而是必要條件。
例 設(shè)f`(x)=ax+ (a>0)
、倥袛鄁`(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
、谠O(shè)f`(x)在0
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(三)
已知函數(shù)定義域是不等于0的一切實數(shù)。對定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 且當(dāng)x大于1時,f(x)大于0,f(2)=1. 證明f(x)在0到正無戶定膏剮薇溉疙稅躬粳窮上為增。 并解不等式f(2x^2-1)小于2
(1)(A)令x1=x2=1,由題設(shè)得:f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.(B)設(shè)x>0.則0=f(1)=f[x*(1/x)=f(x)+f(1/x).===>f(1/x)=-f(x).(x>0)(C)設(shè)0x2/x1>1.===>f(x2/x1)>0.又f(x2/x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2)-f(x1).故f(x2)-f(x1)>0.===>當(dāng)0f(-1)=0.===>f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=f(x).===>f(-x)=f(x).即函數(shù)f(x)為偶函數(shù),(B)由題設(shè)知f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2.即f(4)=2.故原不等式可化為:f(2x^2-1)0時,有0<2x^2-1<4.===>√2/2<|X|<√10/2.===>戶定膏剮薇溉疙稅躬粳;-√10/2-√2/2
已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F(X)=f(x)-f(a-x)
證明:函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(a/2,0)成中心對稱。
設(shè)k是任一實數(shù)
F(a/2+k)=f(a/2+k)-f(a-a/2-k)=f(a/2+k)-f(a/2-k)
F(a/2-k)=f(a/2-k)-f(a-a/2+k)=f(a/2-k)-f(a/2+k)
F(a/2+k)=-F(a/2-k)
即F(a/2+x)=-F(a/2-x)
所以函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(a/2,0)成中心對稱。
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