高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)

2019-01-15 21:57:14 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)！元旦過后就是緊張的期末診斷了。大家已經(jīng)是高三的苦孩子了，期末復(fù)習(xí)的時候，不要只考慮期末診斷，更要準(zhǔn)備高考，為了高考復(fù)習(xí)！函數(shù)是高考可能會考內(nèi)容，愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)希望對同學(xué)們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(一)

　　函數(shù)的單調(diào)性(增減性)是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是高中數(shù)學(xué)必須掌握且能熟練運用的基礎(chǔ)知識。函數(shù)中函數(shù)值的變化方向與自變量的變化方向密切相關(guān)，當(dāng)自變量的變化方向與函數(shù)值的變化方向一致時，函數(shù)圖象(曲線)是下降的，或者說是遞減的;反之，是上升的，或者說是遞增的，函數(shù)的這種性質(zhì)稱為單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間或整個定義域上的性質(zhì)。利用函數(shù)的單調(diào)性可以求函數(shù)在某個區(qū)間上的較大(小)值、可以比較兩個或多個函數(shù)值的大小、還可以解不等式及判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)。但在解決這些問題之前必須確定函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)。下面介紹幾種判斷函數(shù)增減性的方法。

　　一、利用函數(shù)單調(diào)性的定義判別

　　設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：

　　如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間A上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1

　　在此定義中必須注意：

　　1.證明函數(shù)的單調(diào)性，必須嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義進(jìn)行，x1，x2具有三個特征：一是任意性，也就是說，x1，x2是任取的，證明單調(diào)性時不能用兩個特殊值隨意替換x1，x2;二是x1，x2有大小，通常規(guī)定x1

　　2.這個區(qū)間A可以是定義域I本身，也可以是定義域I的某個真子集。

　　3.不是所有的函數(shù)都具有單調(diào)性。

　　如函數(shù) ，它的定義域為R，但不具備單調(diào)性;又如Y=3x+2，x∈N+，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調(diào)性。

　　二、利用函數(shù)值與自變量的變化趨勢判別或利用函數(shù)圖象的“走勢”判別

　　當(dāng)函數(shù)值與自變量的變化趨勢時，函數(shù)為函數(shù)。

　　函數(shù)圖象(曲線)“從左到右走坡路”，函數(shù)為函數(shù)。

　　三、利用函數(shù)單調(diào)性的運算性質(zhì)判別

　　若函數(shù)f(x)，g(x)在定義域區(qū)間A上具有單調(diào)性，則在區(qū)間A上具有下列性質(zhì)：

　　①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性;

　�、诋�(dāng)a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性;

　�、廴鬴(x)恒不等于零，當(dāng)k>0時，f(x)與具有相反的單調(diào)性;單k<0時，f(x)與具有相同的單調(diào)性;

　�、墚�(dāng)f(x)與g(x)都是函數(shù)時，則f(x)+g(x)也是函數(shù);

　　⑤若f(x)與g(x)都是函數(shù)時。

　　當(dāng)f(x)>0且g(x)>0時，則f(x) g(x)是函數(shù);

　　當(dāng)f(x)<0且g(x)<0時，則f(x) g(x)是函數(shù)。

　　例判斷函數(shù)f(x)=5x3- 在(0，+∞)上的單調(diào)性。

　　解：∵5x3在(0，+∞)上是增函數(shù);- 在(0，+∞)上是增函數(shù)。

　　∴f(x)=5x3- 在(0，+∞)上也是增函數(shù)。

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(二)

　　四、利用函數(shù)奇(偶)性的對稱性質(zhì)判別

　　因為函數(shù)的圖象關(guān)于成圖形，所以函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上具有的單調(diào)性。即函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]與[-b，-a]上的單調(diào)性。(0≤a

　　例2 設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上遞增，且有f(2a2+a+1)

　　解：∵f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上遞增。

　　∴f(x)在區(qū)間(0，+∞)上遞減。

　　點評：解此題的關(guān)鍵是根據(jù)2a2+a+1>0，2a2-2a+3>0恒成立的性質(zhì)，必須確定f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，而偶函數(shù)f(x)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間(-∞，0)與(0，+∞)上的單調(diào)性相反。

　　五、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

　　1.若一個復(fù)合函數(shù)由多個初等函數(shù)復(fù)合而成，則這個復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由復(fù)合成此函數(shù)的這多個初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定：當(dāng)初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)初等函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)。即“偶增奇減”

　　2.當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]由兩個初等函數(shù)y=f(u)，u=g(x)復(fù)合而成時，其單調(diào)性為：當(dāng)y=f(u)，u=g(x)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)時，y=f[g(x)]為增函數(shù)：當(dāng)y=f(u)，u=g(x)為一增函數(shù)一減函數(shù)時，y=f[g(x)]為減函數(shù)。即“同增異減”

　　例求函數(shù)y=log2(x2+3x+2)的單調(diào)性

　　解：由x2+3x+2>0得x<―2或x>―1

　　∴函數(shù)定義域為(-∞，―2)∪(―1，+∞)

　　又∵y=log2(x2+3x+2)由函數(shù)y=log2u(u>0)與u=x2+3x+2(x<―2或x>―1)復(fù)合而成

　　當(dāng)x∈(-∞，―2)時，u=x2+3x+2為減函數(shù)，也滿足u>0，y=log2u為增函數(shù)。

　　則y=log2(x2+3x+2)為減函數(shù);

　　當(dāng)x∈(―1，+∞)時，u=x2+3x+2為增函數(shù)，也滿足u>0，y=log2u為增函數(shù)。

　　則y=log2(x2+3x+2)為增函數(shù)。

　　∴y=log2(x2+3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，―2);單調(diào)遞增區(qū)間為(―1，+∞)

　　六、導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)

　�、� 如果恒有f`(x)>0，則函數(shù)f`(x)在(a，b)上為增函數(shù);

　　② 如果恒有f`(x)<0，則函數(shù)f`(x)在(a，b)上為減函數(shù);

　�、� 如果f`(x)在區(qū)間(a，b)上遞，則在該區(qū)間上有。

　　求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

　　①求f`(x) ②解不等式 ③確定結(jié)論：的解集為單調(diào)遞區(qū)間。

　　注意：當(dāng)f`(x)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余各點處都為時，f`(x)在這區(qū)間上仍是單調(diào)遞的，但是并不是f`(x)為函數(shù)的充分條件，而是必要條件。

　　例設(shè)f`(x)=ax+ (a>0)

　�、倥袛鄁`(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性;

　�、谠O(shè)f`(x)在0

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)(三)

　　已知函數(shù)定義域是不等于0的一切實數(shù)。對定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 且當(dāng)x大于1時，f(x)大于0，f(2)=1. 證明f(x)在0到正無戶定膏剮薇溉疙稅躬粳窮上為增。并解不等式f(2x^2-1)小于2

　　(1)(A)令x1=x2=1,由題設(shè)得：f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.(B)設(shè)x>0.則0=f(1)=f[x*(1/x)=f(x)+f(1/x).===>f(1/x)=-f(x).(x>0)(C)設(shè)0x2/x1>1.===>f(x2/x1)>0.又f(x2/x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2)-f(x1).故f(x2)-f(x1)>0.===>當(dāng)0f(-1)=0.===>f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=f(x).===>f(-x)=f(x).即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，(B)由題設(shè)知f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2.即f(4)=2.故原不等式可化為：f(2x^2-1)0時，有0<2x^2-1<4.===>√2/2<|X|<√10/2.===>戶定膏剮薇溉疙稅躬粳;-√10/2-√2/2

　　已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，設(shè)F(X)=f(x)-f(a-x)

　　證明：函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(a/2，0)成中心對稱。

　　設(shè)k是任一實數(shù)

　　F(a/2+k)=f(a/2+k)-f(a-a/2-k)=f(a/2+k)-f(a/2-k)

　　F(a/2-k)=f(a/2-k)-f(a-a/2+k)=f(a/2-k)-f(a/2+k)

　　F(a/2+k)=-F(a/2-k)

　　即F(a/2+x)=-F(a/2-x)

　　所以函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(a/2，0)成中心對稱。

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