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余數(shù)三大定理
余數(shù)三大定理有余數(shù)的加法定理:a與b的和除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之和,或這個和除以c的余數(shù)。2019北京中考數(shù)學余數(shù)的乘法定理:a與b的乘積除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)的積,或者這個積除以c所得的余數(shù)。同余定理:若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱a、b對于模m同余。
1.余數(shù)的加法定理
a與b的和除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之和,或這個和除以c的余數(shù)。
例:18,21除以5的余數(shù)分別是1和3,而18+21=39除以5的余數(shù)等于4,即是兩個余數(shù)的和1+3.
當余數(shù)的和比除數(shù)大時,所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c所得的余數(shù)。
2.余數(shù)的乘法定理
a與b的乘積除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)的積,或者這個積除以c所得的余數(shù)。
例:18,21除以5的余數(shù)分別是1和3,而18×21=378除以5的余數(shù)等于3,即是兩個余數(shù)的積1×3.
當余數(shù)的積比除數(shù)大時,所求的余數(shù)等于兩個余數(shù)的積再除以c所得的余數(shù)。
3.同余定理
若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱a、b對于模m同余。同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質(zhì)我們可以得到一個非常重要的推論:若兩個數(shù)a、b除以同一個數(shù)m,得到的余數(shù)相同,則a、b的差一定能被m整除。
例:18,33除以5的余數(shù)都是3,2019北京中考數(shù)學則33-18=15一定能被5整除。
論證:設除數(shù)為x,先進個商為m,余數(shù)為a,則先進個被除數(shù)為mx+a,設第二個商為n(n
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