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北京初中數(shù)學三角形知識點!三角形應該算幾何中一個很特殊的存在了,數(shù)學中,幾何是非常有代表性的內(nèi)容,很多幾何學得好的同學,數(shù)學成績也很不錯,同學們學習數(shù)學一定要耐心細致,做題也要多加思考。下面,小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">北京初中數(shù)學三角形知識點。
1.三角形的定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊,三個內(nèi)角,三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。
2.三角形的表示
三角形ABC用符號表示為△ABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。
注意:
(1)三條線段要不在同一直線上,且首尾順次相接;
(2)三角形是一個封閉的圖形;
(3)△ABC是三角形ABC的符號標記,單獨的△沒有意義。
3.三角形的分類
(1)按邊分類:
(2)按角分類
4.三角形的主要線段的定義
(1)三角形的中線(在中文中,中有中間的意思而在這里就是邊上的中線)
三角形中,連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段。
表示法:①AD是△ABC的BC上的中線.
②BD=DC=BC.
注意:①三角形的中線是線段;
②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(注:這點叫重心:當我們用一條線穿過重心的時候,三角形不會亂晃)
③中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。
(2)三角形的角平分線
三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段
表示法:①AD是△ABC的∠BAC的平分線.
②∠1=∠2=∠BAC.
注意:①三角形的角平分線是線段;
②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點;(注:這一點角三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊距離相等)
③用量角器畫三角形的角平分線。
(3)三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段.
表示法:①AD是△ABC的BC上的高線
②AD⊥BC于D
③∠ADB=∠ADC=90°.
注意:①三角形的高是線段;
②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部,直角三角形有兩條高是邊,鈍角三角形有兩條高在形外;(三角形三條高所在直線交于一點.這點叫垂心)
③由于三角形有三條高線,所以求三角形的面積的時候就有三種(因為高底不一樣)
5.三角形的主要線段的表示法
三角形的角平分線的表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
① AD是DABC的角平分線;
② AD平分ÐBAC,交BC于D;
③如果AD是DABC的角平分線,那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.
(圖1)
(2)三角形的中線表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
①AE是DABC的中線;
②AE是DABC中BC邊上的中線;
③如果AE是DABC的中線,那么BE=EC=BC.
(3)三角線的高的表示法:
如圖2,根據(jù)具體情況,使用以下任意一種方式表示:
①AM是DABC的高;
②AM是DABC中BC邊上的高;
③如果AM是DABC中BC邊上高,那么AM^BC,垂足是E;
④如果AM是DABC中BC邊上的高,那么ÐAMB=ÐAMC=90°.
在畫三角形的三條角平分線,三條中線,三條高時應注意:
(1)如圖3,三角形三條角平分線交于一點,交點都在三角形內(nèi)部.
(2)如圖4,三角形的三條中線交點一點,交點都在三角形內(nèi)部.
圖3 圖4
如圖5,6,7,三角形的三條高交于一點,銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部,鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部,直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.
圖5 圖6 圖7
6.三角形的三邊關(guān)系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.
注意:(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是:兩點之間線段是短;
(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.
7.三角形的角與角之間的關(guān)系
(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180°;
(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;
(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.
(4)直角三角形的兩個銳角互余.
8.三角形的內(nèi)角和定理
定理:三角形的內(nèi)角和等于180°.
推論:直角三角形的兩個銳角互余。
推理過程:
(1)作CM∥AB,則∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180度,
即∠A+∠B+∠ACB=180度.
(2)作MN∥BC,則∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=180度
即∠BAC+∠B+∠C=180度.
注意:
(1)證明的思路很多,基本思想是組成平角.
(2)應用內(nèi)角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關(guān)系求三個角.
9.三角形的外角的定義
三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.
注意:每個頂點處都有兩個外角,但這兩個外角是對頂角.(所以一般我們只研究一個)
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.
所以說一個三角形有六個外角,但我們每個一個頂點處
只選一個外角,這樣三角形的外角就只有三個了.
10.三角形外角的性質(zhì)
(1)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.
(2)三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.
注意:(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視;
(1)作CM∥AB由于B、C、D共線
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
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11.三角形的穩(wěn)定性
三角形的三邊長確定,則三角形的形狀就先進確定,這叫做三角形的穩(wěn)定性。
注意:(1)三角形具有穩(wěn)定性;
(2)四邊形沒有穩(wěn)定性.
關(guān)于三角形會經(jīng)常遇到的題型:
適當添加輔助線,尋找基本圖形。
(1)基本圖形一,如圖8,在ABC中,AB=AC,B,A,D成一條直線,則∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.
圖8
(2)基本圖形二,如圖9,如果CO是∠AOB的角平分線,DE∥OB交OA,OC于D,E,那么DOE是等腰三角形,DO=DE.當幾何問題的條件和結(jié)論中,或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線,平行線,等腰三角形三個條件中的兩個時,就應找出這個基本圖形,并立即推證出第三個作為結(jié)論.即:角平分線+平行線→等腰三角形.
圖9
(3)基本圖形三,如圖10,如果BD是ÐABC的角平分線,M是AB上一點,MN^BD,且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN,即DBMN是等腰三角形,且MP=NP,即:角平分線+垂線→等腰三角形.
當幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時,就應找出這個基本圖形,如等腰三角形不完整就應將基本圖形補完整,如圖11,圖12。
12.多邊形
在同一平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。
(1)多邊形的對角線
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線。
(2)正多邊形
各邊相等,各角都相等的多邊形叫做正多邊形
(3)多邊形的內(nèi)角和為(n-2)*180度
多邊形的外角和為 360度
注:當求角度時應該想起 內(nèi)角和 或者 外角和 或者 一個角的外角
13.密鋪
所謂“密鋪”,就是指任何一種圖形,如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上,這種鋪法就叫做“密鋪”。
用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的密鋪,又稱做平面圖形的鑲嵌。
可單獨密鋪的圖形
①所有三角形與四邊形均可以單獨密鋪。
②正多邊形只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨密鋪。
③對邊平行的六邊形可以單獨密鋪。
平面上有:完全相同的三角形、四邊形能密鋪(或三角形與四邊形組合)、正多邊形密鋪時,只有正三、四、六邊形可以密鋪。
(利用內(nèi)角和的知識來,如:任意三角形內(nèi)角180,則三個相同的任意三角形即可形成∠180,六個就可以密鋪;同理,四邊形內(nèi)角360,四個就可以密鋪;正多邊形的頂角的整數(shù)倍等于180或360)
曲面像12個正五邊形和20個正六邊形可以鋪成個球(足球就是)。
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