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2021初中數(shù)學一元二次方程知識點整理

2020-08-10 16:07:28  來源:網(wǎng)絡

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一、定義和特點
 
  1、一元二次方程:含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的較高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
 
  2、一元二次方程的一般形式:ax的平方+bx+c=0(a≠0),它的特征是:等式左邊加一個關于未知數(shù)x的二次多項式,等式右邊是零,其中ax的平方+叫做二次項,a叫做二次項系數(shù);bx叫做一次項,b叫做一次項系數(shù);c叫做常數(shù)項。
 
  二、方程起源
 
  古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數(shù)學家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年,中國人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根,但是并沒有提出通用的求解方法。西元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
 
  7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是先進位懂得用使用代數(shù)方程,它同時容許有正負數(shù)的根。
 
  11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發(fā)展了一套公式以求方程的正數(shù)解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,較早將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
 
  據(jù)說施里德哈勒是較早給出二次方程的普適解法的數(shù)學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規(guī)則是(引自婆什迦羅第二):
 
  在方程的兩邊同時乘以二次項未知數(shù)的系數(shù)的四倍;
 
  在方程的兩邊同時加上一次項未知數(shù)的系數(shù)的平方;
 
  在方程的兩邊同時開二次方。
 
  三、性質(zhì)
 
  方程的兩根與方程中各數(shù)有如下關系:x1+x2= -b/a,x1·x2=c/a(也稱韋達定理)
 
  方程兩根為x1,x2時,方程為:x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根據(jù)韋達定理逆推而得)
 
  b^2-4ac>0有2個不相等的實數(shù)根,b^2-4ac=0有兩個相等的實數(shù)根,b^2-4ac<0無實數(shù)根。
 
  四、一般解法
 
  一元二次方程的一般解法有以下幾種:
 
  配方法(可解部分一元二次方程)
 
  公式法(在初中階段可解全部一元二次方程,前提:△≥0)
 
  因式分解法(可解部分一元二次方程)
 
  直接開平方法(可解全部一元二次方程)
 
  五、小結及例題
 
  一般解一元二次方程,較常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項系數(shù)化為正數(shù)。
 
  直接開平方法是較基本的方法。
 
  公式法和配方法是較重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為通用法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應先判別式的值,以便判斷方程是否有解。
 
  配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學方法:換元法,配方法,待定系數(shù)法)。
 
  例:用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?選學)
 
  (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
 
  分析:
 
  (1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察后發(fā)現(xiàn),方程左邊可用平方差
 
  公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。
 
  (2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
 
  (3)把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后利用十字相乘法因式分解。
 
  (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
 
  [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
 
  (5x-5)(-x+13)=0
 
  5x-5=0或-x+13=0
 
  ∴x1=1,x2=13
 
  (2)解: x^2+2x-3=0
 
  [x-(-3)](x-1)=0
 
  x-(-3)=0或x-1=0
 
  ∴x1=-3,x2=1
 
  (3)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
 
  4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
 
  [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
 
  2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
 
  ∴x1=(m+2)/2,x2=(m+3)/2
 
 
 

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