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過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線,它們所成的銳角(或直角)就是異面直線所成的角。角的范圍是θ∈(0°,90°]。
1、幾何法和向量法求所成角
幾何法
1.平移法。將兩條直線或其中一條平移(找出平行線)至它們相交,把異面轉化為共面,用余弦定理或正弦定理來求(一般是余弦定理)。一般采用平行四邊形或三角形中位線來構造平行線。
2.三余弦定理法。運用三余弦定理關鍵是要找出一條直線a所在的平面α和另一條直線b在該平面α內(nèi)的射影,求出b與α所成角以及a與b的射影b‘所成角,進而求a與b所成角。
3.三棱錐法。三棱錐(四面體)中兩條相對的棱互為異面直線,設有四面體ABCD,其中AD與BC互為異面直線,那么它們所成角θ滿足以下關系:
運用該公式也可以求異面直線所成角。
向量法
1.向量幾何法。運用向量的加減法規(guī)則,把要求的異面直線用向量表示,并運用向量的運算法則(例如分配律、共線向量)來求出cosθ
2.向量代數(shù)法。當容易找到三條兩兩垂直的直線時,可以以它們的交點為坐標軸原點建立直角坐標系,運用代數(shù)方法。
2、如何求異面直線所成的角
在高一階段,我們常用的方法有以下三種:
(1)直接平移法: 通常的思路是:在兩條異面直線其中一條上面選一個端點,引另一條的平行線。
(2)中位線平移(尤其是圖中出現(xiàn)了線段的中點時)
(3)補形平移法:“補形法”是立體幾何中一種常見的方法,通過補形,可將問題轉化為易于研究的幾何體來處理,利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。
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