北京朝陽區(qū)高二期末數(shù)學(xué)試卷

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　　1二階偏導(dǎo)數(shù)公式詳解∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

　　∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

　　∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

　　∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

　　當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時(shí)，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。假如函數(shù)f(x,y)在域D的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，那么稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。

　　此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域D的每一點(diǎn)(x,y)，必有一個(gè)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，稱為f(x,y)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)。

　　按偏導(dǎo)數(shù)的概念，將多元函數(shù)關(guān)于一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，就將其余的自變量看成常數(shù)，此時(shí)他的求導(dǎo)辦法與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法是一樣的。

　　設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn)(x0,y0)是其概念域D內(nèi)一點(diǎn)。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

　　假如△z與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作f'x(x0,y0)或函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。

　　把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導(dǎo)數(shù)。同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，假如極限存在那么此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。

　　2二階偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)(1)假如一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I上有f''(x)(即二階導(dǎo)數(shù))>0恒成立，那么對(duì)于區(qū)間I上的任意x,y，總有：

　　f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假如總有f''(x)<0成立，那么上式的不等號(hào)反向。

　　幾何的直觀解釋：假如一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I上有f''(x)(即二階導(dǎo)數(shù))>0恒成立，那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

　　(2)判斷函數(shù)極大值以及極小值。

　　結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)能夠求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0，而二階導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，為極小值點(diǎn)。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0，而二階導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，為極大值點(diǎn);當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都等于0時(shí)，為駐點(diǎn)。

　　(3)函數(shù)凹凸性。

　　設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么，

　　1.若在(a,b)內(nèi)f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;

　　2.若在(a,b)內(nèi)f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

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