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1.三角形的定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊,三個(gè)內(nèi)角,三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。
2.三角形的表示
三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三個(gè)頂點(diǎn)用大寫字母A,B,C來表示。
注意:
(1)三條線段要不在同一直線上,且首尾順次相接;
(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形;
(3)△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記,單獨(dú)的△沒有意義。
3.三角形的分類
(1)按邊分類:
(2)按角分類
4.三角形的主要線段的定義
(1)三角形的中線(在中文中,中有中間的意思而在這里就是邊上的中線)
三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。
表示法:①AD是△ABC的BC上的中線.
②BD=DC=BC.
注意:①三角形的中線是線段;
②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)(注:這點(diǎn)叫重心:當(dāng)我們用一條線穿過重心的時(shí)候,三角形不會(huì)亂晃)
③中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形。
(2)三角形的角平分線
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段
表示法:①AD是△ABC的∠BAC的平分線.
②∠1=∠2=∠BAC.
注意:①三角形的角平分線是線段;
②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn);(注:這一點(diǎn)角三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)
③用量角器畫三角形的角平分線。
(3)三角形的高
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段.
表示法:①AD是△ABC的BC上的高線
②AD⊥BC于D
③∠ADB=∠ADC=90°.
注意:①三角形的高是線段;
②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部,直角三角形有兩條高是邊,鈍角三角形有兩條高在形外;(三角形三條高所在直線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫垂心)
③由于三角形有三條高線,所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種(因?yàn)楦叩撞灰粯樱?/p>
5.三角形的主要線段的表示法
三角形的角平分線的表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
① AD是DABC的角平分線;
② AD平分ÐBAC,交BC于D;
③如果AD是DABC的角平分線,那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.
(圖1)
(2)三角形的中線表示法:
如圖1,根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示:
①AE是DABC的中線;
②AE是DABC中BC邊上的中線;
③如果AE是DABC的中線,那么BE=EC=BC.
(3)三角線的高的表示法:
如圖2,根據(jù)具體情況,使用以下任意一種方式表示:
①AM是DABC的高;
②AM是DABC中BC邊上的高;
③如果AM是DABC中BC邊上高,那么AM^BC,垂足是E;
④如果AM是DABC中BC邊上的高,那么ÐAMB=ÐAMC=90°.
在畫三角形的三條角平分線,三條中線,三條高時(shí)應(yīng)注意:
(1)如圖3,三角形三條角平分線交于一點(diǎn),交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
(2)如圖4,三角形的三條中線交點(diǎn)一點(diǎn),交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
圖3 圖4
如圖5,6,7,三角形的三條高交于一點(diǎn),銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)上.
圖5 圖6 圖7
6.三角形的三邊關(guān)系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.
注意:(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是:兩點(diǎn)之間線段是短;
(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.
7.三角形的角與角之間的關(guān)系
(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;
(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
8.三角形的內(nèi)角和定理
定理:三角形的內(nèi)角和等于180°.
推論:直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
推理過程:
(1)作CM∥AB,則∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180度,
即∠A+∠B+∠ACB=180度.
(2)作MN∥BC,則∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=180度
即∠BAC+∠B+∠C=180度.
注意:
(1)證明的思路很多,基本思想是組成平角.
(2)應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個(gè)角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求三個(gè)角.
9.三角形的外角的定義
三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的外角.
注意:每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角,但這兩個(gè)外角是對(duì)頂角.(所以一般我們只研究一個(gè))
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.
所以說一個(gè)三角形有六個(gè)外角,但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處
只選一個(gè)外角,這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.
10.三角形外角的性質(zhì)
(1)三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.
(2)三角形的一個(gè)角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
注意:(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視;
(1)作CM∥AB由于B、C、D共線
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
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