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數(shù)列極限的性質(zhì)
唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂性。若數(shù)列存在極限,則該極限唯一;若數(shù)列存在極限,則該數(shù)列一定有界;若數(shù)列存在極限,且極限大于零(或小于零),則存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時,數(shù)列項an大于零(或小于零)。
若數(shù)列的每一項非負(fù)且數(shù)列收斂,則其極限也非負(fù)。可根據(jù)保號性定理,用反證法證明。
若數(shù)列的每一項小于等于零且數(shù)列收斂,則其極限也小于等于零。
數(shù)列的極限問題是我們學(xué)習(xí)的一個比較重要的部分,同時,極限的理論也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。數(shù)列極限的問題作為微積分的基礎(chǔ)概念,其建立與產(chǎn)生對微積分的理論有著重要的意義。
在實數(shù)系中,單調(diào)有界數(shù)列必有極限。任何有界數(shù)列必有收斂的子列。
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特征值與特征向量的關(guān)系
一個特征值只能有一個特征向量。特征值和特征向量都是數(shù)學(xué)概念,若σ是線性空間V的線性變換,σ對V中某非零向量x的作用是伸縮,σ(x)=aζ,則稱x是σ的屬于a的特征向量,a稱為σ的特征值。
位似變換σk(即對V中所有a,有σk(a)=kα)使V中非零向量均為特征向量,它們同屬特征值k;而旋轉(zhuǎn)角θ(0<θ<π)的變換沒有特征向量。可以通過矩陣表示求線性變換的特征值、特征向量。
若A是n階方陣,I是n階單位矩陣,則稱xI-A為A的特征方陣,xI-A的行列式|xI-A|展開為x的n次多項式fA(x)=xn-(a11+…+ann)xn-1+…+(-1)n|A|,稱為A的特征多項式,它的根稱為A的特征值。若λ0是A的一個特征值,則以λ0I-A為系數(shù)方陣的齊次方程組的非零解x稱為A的屬于λ的特征向量:Ax=λ0x。L.歐拉在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現(xiàn)了特征方程概念,J.L.拉格朗日為處理六大行星運(yùn)動的微分方程組首先明確給出特征方程概念。特征方程也稱永年方程,特征值也稱本征值、固有值。固有值問題在物理學(xué)許多部門是重要問題。線性變換或矩陣的對角化、二次型化到主軸都?xì)w為求特征值特征向量問題。每個實對稱方陣的特征根均為實數(shù)。A.凱萊于19世紀(jì)中期通過對三階方陣驗證,宣告凱萊-哈密頓定理成立,即每個方陣A滿足它的特征方程,fA(A)=An-(a11+…+ann)An-1+…+(-1)n|A|I=0。
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