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高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性知識點!同學(xué)們導(dǎo)數(shù)的知識點掌握的怎么樣了呢,同學(xué)們想要取得好的數(shù)學(xué)成績,就繞不過導(dǎo)數(shù)這個知識點,因此同學(xué)們要好好的學(xué)習(xí),把導(dǎo)數(shù)的知識點弄懂學(xué)透。下面,小編為大家?guī)?/span>高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性知識點。
一、課本基礎(chǔ)提煉
一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系:在定義域內(nèi)的某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
注:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,那么函數(shù) 為常數(shù)函數(shù).
二、二級結(jié)論必函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)為增函數(shù)的條件是對于都有f'(x)≥0(且不恒為0);函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)為減函數(shù)的充要條件是對于都有f'(x)≤0(且不恒為0);應(yīng)注意驗證式子中的等號是否滿足題意.
【技能方法】
1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應(yīng)注意f'(x)>0(或f'(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件.
例1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(-1,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【答案】B
【解析】
函數(shù)的定義域為(0,+∞),,令y'<0,得0<x<1,即函數(shù)的遞減區(qū)間為(0,1).
【點評】求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:
(1)確定函數(shù)f'(x)的定義域;
(2)求f'(x),令f'(x)>0,不等式f'(x)>0的解集區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;令f'(x)<0,不等式f'(x)<0的解集區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
例2.設(shè)a>0,b>0,已知函數(shù),討論函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性.
【解析】
f(x)的定義域為{x|x≠-1},
當(dāng)a>b時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<b時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調(diào)遞減.
【點評】先求導(dǎo),根據(jù)參數(shù) 的大小關(guān)系進行分類討論.
2.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
由函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)范圍的方法:
(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.
(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f'(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f'(x)≤0”來求解.
例3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+c,且.
(1)求a的值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=[f(x)-x3]ex,若函數(shù)g(x)在[-3,2]上單調(diào)遞增,求實數(shù) 的取值范圍
【解析】
(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1,則,解得:a=-1;
(2)函數(shù)g(x)=[f(x)-x3]ex=(-x2-x+c)ex,則g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex因為函數(shù)g(x)在[-3,2]上單調(diào)遞增,所以h(x)=-x2=3x+c-1≥0在[-3,2]上恒成立.只要h(x),解得c≥11,所以c的取值范圍是[11,+∞).
【點評】將函數(shù)函數(shù)g(x)在[-3,2]上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為g'(x)≥0在[-3,2]恒成立.
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【基礎(chǔ)達標(biāo)】
1.函數(shù)f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( ).
A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)
C.有最大值 D.有最小值
【答案】A
【解析】f(x)=2x-cosx∴f'(x)=2+sinx∴f'(x)≥0恒成立,原函數(shù)是增函數(shù).
2.函數(shù)(a<b<c),則( 。
A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b)
C.f(a)>f(b) D. 大小關(guān)系不能確定
【答案】C
【解析】因為,當(dāng)x<1時有f'(x)<0,故f(x)在x<1時為減函數(shù),從而有f(a)>f(b).
3.函數(shù)f(x)=3+x1nx的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,令f'(x)=1nx+1<0得.所以函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為.
4.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( 。
A.(0,3) B.(1,4) C.(2,+∞) D.(-∞,2)
【答案】C
【解析】f'(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2),因為ex>0恒成立,所以令f'(x)=ex(x-2)>0得x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞).
5.函數(shù)f(x)=ax3在R上為減函數(shù),則a的取值范圍是______.
【答案】a≤0
【解析】試題分析:f(x)=ax3-x在R上為減函數(shù)∴f'(x)≤0恒成立,∵f'(x)3ax2-1≤0∴∴a≤0
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