數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：求函數(shù)解析式的幾種常用方法

2010-08-06 09:49:14 　來(lái)源：城市快報(bào)

　　當(dāng)前，我們已進(jìn)入高三一輪復(fù)習(xí)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)中較重要的概念之一，它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。求函數(shù)解析式是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，在高診斷題中多以選擇、填空形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，同學(xué)們務(wù)必要拿分。下面就向同學(xué)們介紹幾種求函數(shù)解析式的常用方法：

　　[題型一]配湊法

　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。

　　分析：函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)法則f：x→y，因此解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清對(duì)“x”而言，“y”是怎樣的規(guī)律。

　　解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1

　　(■+11)

　　∴f(x)=x2-1(x1)

　　小結(jié)：此種解法為配湊法，通過(guò)觀察、分析，將右端“x+2■”變?yōu)榻邮軐?duì)象“■+1”的表達(dá)式，即變?yōu)楹?■+1)的表達(dá)式，這種解法對(duì)變形能力、觀察能力有一定的要求。

　　[題型二]換元法

　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。

　　分析：視1-cosx為一整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元即得。

　　解：設(shè)t=1-cosx

　　∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2

　　∴cosx=1-t

　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t

　　∴f(t)=-t2+2t(0t2)

　　即f(x)=-x2+2x(0x2)

　　小結(jié)：①已知f[g(x)]是關(guān)于x的函數(shù)，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。

　　注意：換元后要確定新元t的取值范圍。

　　②換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以助力實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見(jiàn)的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應(yīng)用極為廣泛。

　　[題型三]待定系數(shù)法

　　例3.設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的兩實(shí)根平方和為10，圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式。

　　分析：由于f(x)是二次函數(shù)，其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定，可用待定系數(shù)法處理。

　　解：設(shè)f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)

　　由f(x+2)=f(2-x)可知，該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

　　∴-■=2，即b=-4a……①

　　又圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)∴c=3……②

　　由方程f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10，得(-■)2-■=0

　　即b2-2ac=10a2……③

　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3

　　∴f(x)=x2-4x+3

　　小結(jié)：我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果。類似的已知f(x)為一次函數(shù)時(shí)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函數(shù)時(shí)，可設(shè)f(x)=■(k≠0)；f(x)為二次函數(shù)時(shí)，根據(jù)條件可設(shè)

　�、僖话闶剑篺(x)=ax2+bx+c(a≠0)

　　②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

　�、垭p根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

　　[題型四]消元法

　　例4.已知函數(shù)y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常數(shù)，a≠±b，求函數(shù)y=f(x)的解析式。

　　分析：求函數(shù)y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f(■)，不難想到再尋找一個(gè)方程，構(gòu)成方程組，消去f(■)得f(x)。如何構(gòu)成呢？充分利用x和■的倒數(shù)關(guān)系，用■去替換已知中的x便可得到另一個(gè)方程。

　　解：在已知等式中，將x換成■，得af(■)+bf(x)=■，把它與原條件式聯(lián)立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②

　�、�×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)

　　∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)

　　有同學(xué)通過(guò)QQ詢問(wèn)下面的數(shù)學(xué)題，我們請(qǐng)?zhí)旖蛩闹械拿侠栎x老師來(lái)回答。

　　問(wèn)1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的兩根滿足一個(gè)條件：一根大于k，一根小于k(k是實(shí)數(shù))，求a的取值范圍。(此題一種方法是圖象法，還有一種方法，能告訴這兩種方法嗎？)

　　答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開(kāi)口向上的拋物線，因此只需f(k)＜0即可。