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當(dāng)前,我們已進(jìn)入高三一輪復(fù)習(xí),函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)中較重要的概念之一,它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。求函數(shù)解析式是函數(shù)部分的基礎(chǔ),在高診斷題中多以選擇、填空形式出現(xiàn),屬中低檔題目,同學(xué)們務(wù)必要拿分。下面就向同學(xué)們介紹幾種求函數(shù)解析式的常用方法:
[題型一]配湊法
例1.已知f(■+1)=x+2■,求f(x)。
分析:函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)是自變量x確定y值的關(guān)系式,其實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)法則f:x→y,因此解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清對(duì)“x”而言,“y”是怎樣的規(guī)律。
解:∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小結(jié):此種解法為配湊法,通過(guò)觀察、分析,將右端“x+2■”變?yōu)榻邮軐?duì)象“■+1”的表達(dá)式,即變?yōu)楹?■+1)的表達(dá)式,這種解法對(duì)變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)。
分析:視1-cosx為一整體,應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想,換元即得。
解:設(shè)t=1-cosx
∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小結(jié):①已知f[g(x)]是關(guān)于x的函數(shù),即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=(t),將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x替換t,便得f(x)的解析式。
注意:換元后要確定新元t的取值范圍。
②換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些變量的解題方法,它的基本功能是:化難為易、化繁為簡(jiǎn),以助力實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換,從而達(dá)到順利解題的目的。常見(jiàn)的換元法是多種多樣的,如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等,它的應(yīng)用極為廣泛。
[題型三]待定系數(shù)法
例3.設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,圖象過(guò)點(diǎn)(0,3),求f(x)的解析式。
分析:由于f(x)是二次函數(shù),其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定,可用待定系數(shù)法處理。
解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知,該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
∴-■=2,即b=-4a……①
又圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)∴c=3……②
由方程f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1,b=-4,c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小結(jié):我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型,便可設(shè)出其函數(shù)解析式,設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果。類似的已知f(x)為一次函數(shù)時(shí),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0);f(x)為反比例函數(shù)時(shí),可設(shè)f(x)=■(k≠0);f(x)為二次函數(shù)時(shí),根據(jù)條件可設(shè)
、僖话闶剑篺(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
、垭p根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[題型四]消元法
例4.已知函數(shù)y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx,其中a、b、c都是非零常數(shù),a≠±b,求函數(shù)y=f(x)的解析式。
分析:求函數(shù)y=f(x)的解析式,由已知條件知必須消去f(■),不難想到再尋找一個(gè)方程,構(gòu)成方程組,消去f(■)得f(x)。如何構(gòu)成呢?充分利用x和■的倒數(shù)關(guān)系,用■去替換已知中的x便可得到另一個(gè)方程。
解:在已知等式中,將x換成■,得af(■)+bf(x)=■,把它與原條件式聯(lián)立,得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
、×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
有同學(xué)通過(guò)QQ詢問(wèn)下面的數(shù)學(xué)題,我們請(qǐng)?zhí)旖蛩闹械拿侠栎x老師來(lái)回答。
問(wèn)1.已知:方程:x2+ax+a+1=0的兩根滿足一個(gè)條件:一根大于k,一根小于k(k是實(shí)數(shù)),求a的取值范圍。(此題一種方法是圖象法,還有一種方法,能告訴這兩種方法嗎?)
答:方法一:∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開(kāi)口向上的拋物線,因此只需f(k)<0即可。
∴k2+ak+a+1<0,即a(k+1)<-k2-1
∴當(dāng)k>-1時(shí),a<■;當(dāng)k<-1時(shí),a>■;當(dāng)k=-1時(shí),a無(wú)解。
方法二:(x1-k)(x2-k)<0△>0
只需(x1-k)(x2-k)<0即可,x1x2-k(x1+x2)+k2<0
即a+1+ka+k2<0,以下同方法一。
問(wèn)2.為什么求解時(shí)只需求(x1-k)(x2-k)<0,而不需再求根的判別式是否大于0?
答:法二不需要驗(yàn)判別式,原因可以舉個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明,如:若研究x2+ax+b=0兩根滿足:一個(gè)根大于0,一個(gè)根小于0,只需x1x2<0,即:b<0,此時(shí)就可以助力△=a2-4b>0恒成立。
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