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高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究一定的方法和策略,同學(xué)們一定更要學(xué)會(huì)總結(jié)歸納易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn),掌握解題方法和思路,培養(yǎng)自己的自主學(xué)習(xí)能力,形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,從而提高自己的學(xué)習(xí)效率。單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn),下面愛(ài)智康小編就將北京高二數(shù)學(xué)單調(diào)性練題目分享給同學(xué)們,希望同學(xué)們參考學(xué)習(xí)。
北京高二數(shù)學(xué)單調(diào)性練題目
一、選擇題
1.設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0,f(x)為增函數(shù),
∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立,
∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0.
2.(2009?廣東文,8)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
[答案] D
[解析] 考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)>0,解得x>2,故選D.
3.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率k=(x0-2)(x0+1)2,則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.[-1,+∞) B.(-∞,2]
C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞)
[答案] B
[解析] 令k≤0得x0≤2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,2].
4.函數(shù)y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.-π,-π2和0,π2
B.-π2,0和0,π2
C.-π,-π2和π2,π
D.-π2,0和π2,π
[答案] A
[解析] y′=xcosx,當(dāng)-π
cosx<0,∴y′=xcosx>0,
當(dāng)00,∴y′=xcosx>0.
5.下列命題成立的是( )
A.若f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù),則對(duì)任何x∈(a,b),都有f′(x)>0
B.若在(a,b)內(nèi)對(duì)任何x都有f′(x)>0,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù)
C.若f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則f′(x)必存在
D.若f′(x)在(a,b)上都存在,則f(x)必為單調(diào)函數(shù)
[答案] B
[解析] 若f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù),則f′(x)≥0,故A錯(cuò);f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無(wú)必然聯(lián)系,故C錯(cuò);f(x)=2在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=0存在,但f(x)無(wú)單調(diào)性,故D錯(cuò).
6.(2007?福建理,11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí)( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同(反),∴x<0時(shí),f′(x)>0,g′(x)<0.
7.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若a
A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且x>0,f(x)≥0,
∴f′(x)≤-f(x)x,即f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
又0
8.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
[答案] C
[解析] 由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù),
故f(0)+f(2)≥2f(1).故應(yīng)選C.
二、填空題
9.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是單調(diào)增函數(shù),則b的范圍為_(kāi)_______.
[答案] b<-1或b>2
[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,則Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,
由題意b<-1或b>2.
10.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
[答案] a≥1
[解析] 由已知a>1+lnxx在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.
設(shè)g(x)=1+lnxx,則g′(x)=-lnxx2<0 (x>1),
∴g(x)=1+lnxx在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,
∴g(x)
∵g(1)=1,
∴1+lnxx<1在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,
∴a≥1.
11.函數(shù)y=ln(x2-x-2)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________.
[答案] (-∞,-1)
[解析] 函數(shù)y=ln(x2-x-2)的定義域?yàn)?2,+∞)∪(-∞,-1),
令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<12,
∴函數(shù)y=ln(x2-x-2)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1).
12.若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
[答案] [3,+∞)
[解析] y′=3x2-2ax,由題意知3x2-2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立,
即a>32x在區(qū)間(0,2)上恒成立,∴a≥3.
三、解答題
13.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11).
(1)求a、b的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
[解析] (1)求導(dǎo)得f′(x)=3x2-6ax+3b.
由于f(x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,
即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12,
解得a=1,b=-3.
(2)由a=1,b=-3得
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1
所以當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f(x)也是增函數(shù);
當(dāng)x∈(-1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù).
14.求證:方程x-12sinx=0只有一個(gè)根x=0.
[證明] 設(shè)f(x)=x-12sinx,x∈(-∞,+∞),
則f′(x)=1-12cosx>0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
而當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,
∴方程x-12sinx=0有的根x=0.
15.已知函數(shù)y=ax與y=-bx在(0,+∞)上都是減函數(shù),試確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.
[分析] 可先由函數(shù)y=ax與y=-bx的單調(diào)性確定a、b的取值范圍,再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.
[解析] ∵函數(shù)y=ax與y=-bx在(0,+∞)上都是減函數(shù),∴a<0,b<0.
由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.
令y′>0,得3ax2+2bx>0,∴-2b3a
∴當(dāng)x∈-2b3a,0時(shí),函數(shù)為增函數(shù).
令y′<0,即3ax2+2bx<0,
∴x<-2b3a,或x>0.
∴在-∞,-2b3a,(0,+∞)上時(shí),函數(shù)為減函數(shù).
16.(2010?新課標(biāo)全國(guó)文,21)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=12,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.
[解析] (1)a=12時(shí),f(x)=x(ex-1)-12x2,
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a.
若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0,即f(x)≥0.
當(dāng)a>1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x∈(0,lna)時(shí)g(x)<0,即f(x)<0.
綜合得a的取值范圍為(-∞,1].
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