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小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)奇偶分析題目(十五)
1.能否將1至25這25個(gè)自然數(shù)分成若干組,使得每一組中的較大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和?
2.在象棋比賽中,勝者得1分,敗者扣1分,若為平局,則雙方各得0分。今有若干個(gè)孩子進(jìn)行比賽,每兩人都賽一局,F(xiàn)知,其中有一位孩子共得7分,另一位孩子共得20分,試說明,在比賽過程中至少有過一次平局。
3.在黑板上寫上1,2,…,909,只要黑板上還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a,b,并寫上a-b(其中a≥b)。問:較后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)?
4.設(shè)a1,a2,…,a64是自然數(shù)1,2,…,64的任一排列,令b1=a1-a2,b2=a3-a4,…,b32=a63-a64;
c1=b1-b2,c2=b3-b4,…,c16=b31-b32;
d1=c1-c2,d2=c3-c4,…,d8=c15-c16;
……
這樣一直做下去,較后得到的一個(gè)整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
答案:
1.不能。提示:仿例3。
2.證:設(shè)得7分的孩子勝了x1局,敗了y1局,得 20分的孩子勝了x2局,敗了y2局。由得分情況知:
x1-y1=7,x2-y2=20。
如果比賽過程中無平局出現(xiàn),那么由每人比賽的場(chǎng)次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面,由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù),由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù),推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾,所以比賽過程中至少有一次平局。
3.奇數(shù)。解:黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個(gè)奇數(shù),每操作一次,總和S減少了a+b-(a-b)=2b,這是一個(gè)偶數(shù),說明總和S的奇偶性不變。由于開始時(shí)S是奇數(shù),因此終止時(shí)S仍是一個(gè)奇數(shù)。
4.偶數(shù)。
解:我們知道,對(duì)于整數(shù)a與b,a+b與a-b的奇偶性相同,由此可知,上述的第二步中,32個(gè)數(shù)
a1-a2, a3-a4,…,a63-a64,
分別與下列32個(gè)數(shù)
a1+a2, a3+a4,…,a63+a64,
有相同的奇偶性,這就是說,在只考慮奇偶性時(shí),可以用“和”代替“差”,這樣可以把原來的過程改為
先進(jìn)步:a1,a2,a3,a4,…,a61,a62,a63,a64;
先進(jìn)步:a1+a2,a3+a4,…,a61+a62,a63+a64;
第三步:a1+a2+a3+a4,…,a61+a62+a63+a64;
……
較后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1,a2,…,a64是1,2,…,64的一個(gè)排列,因此它們的總和為1+2+…+64是一個(gè)偶數(shù),故較后一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)。
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