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小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論問題之完全平方數(shù)練習(xí)題及解析

2016-10-19 12:20:44  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

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  小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論問題之完全平方數(shù)練題目及解析


  1、一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù),求此數(shù)。


  解:設(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得


  x-45=m^2................(1)


  x+44=n^2................(2)(m,n為自然數(shù))


  (2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89


  但89為質(zhì)數(shù),它的正因子只能是1與89,于是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。


  2、求證:四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等于一個(gè)奇數(shù)的平方。


  分析:設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n為整數(shù)。欲證


  n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方,只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。


  證明:設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m,則


  m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2


  而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積,所以是偶數(shù);又因?yàn)?n+1是奇數(shù),因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。


  3、證明,(5n+1)不是平方數(shù)(n為自然數(shù))。


  證明:現(xiàn)在,假設(shè)n為奇數(shù):不管n為哪個(gè)奇數(shù),5n的末位數(shù)一定是5。這樣,式子變成了3×(5+1),等于18,末位是8?墒歉鶕(jù)這一條完全平方數(shù)的性質(zhì),就能判別正誤了。


  請(qǐng)看這邊:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9這6個(gè)數(shù)中的某一個(gè)。顯然不對(duì)?纯磁紨(shù)會(huì)怎么樣。


  如果n為偶數(shù),這樣5n末位一定為0。式子現(xiàn)在又變成了:3×(0+1),等于3。還是看上面完全平方數(shù)的定律,答案也是錯(cuò)。現(xiàn)在已經(jīng)證明出來了。


  這一道題告訴我,當(dāng)我遇到像這種證明題,看看用分類證明的方法是不是較好。其實(shí),這題目也不是很難,關(guān)鍵在于我們是否能從數(shù)的末位去巧做完全平方數(shù)的題!

 

 

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