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完全平方數(shù)的性質(zhì)及推論
一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方,那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù),也叫做平方數(shù)。例 如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 觀察這些完全平方數(shù),可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認識。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì):
性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。
性質(zhì)2:奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù),十位數(shù)字為偶數(shù)。
證明 奇數(shù)必為下列五種形式之一:
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方后,得
(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知:奇數(shù)的平方,個位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9;十位數(shù)字為偶數(shù)。
性質(zhì)3:如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),則它的個位數(shù)字一定是6;反之,如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。
證明 已知m^2=10k+6,證明k為奇數(shù)。因為的個位數(shù)為6,所以m的個位數(shù)為4或6,于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。
則 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數(shù)。
推論1:如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),而個位數(shù)字不是6,那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。 推論2:如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6,則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。
性質(zhì)4:偶數(shù)的平方是4的倍數(shù);奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4
性質(zhì)5:奇數(shù)的平方是8n+1型;偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。
在性質(zhì)4的證明中,由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù);由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。
性質(zhì)6:平方數(shù)的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。
因為自然數(shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性質(zhì)7:不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型,能被5整除的數(shù)的平方為5k型。
性質(zhì)8:平方數(shù)的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關(guān)于個位數(shù),十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外,還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如,256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13,13叫做256的 各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加, 如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù),就把所得的數(shù)字再相加,直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題: 一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。
下面以四位數(shù)為例來說明這個命題。
設(shè)四位數(shù)為,則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然,a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。
對於n位數(shù),也可以仿此法予以證明。
關(guān)於完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì):
性質(zhì)9:完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式,而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質(zhì)以外,還有下列重要性質(zhì):
性質(zhì)10:為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。
性質(zhì)11:如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但p的平方不能整除a,則a不是完全平方數(shù)。
證明 由題設(shè)可知,a有質(zhì)因數(shù)p,但無因數(shù),可知a分解成標準式時,p的次方為1,而完全平方數(shù)分解成標準式時,各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù),可見a不是完全平方數(shù)。
性質(zhì)12:在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù),即若 n^2 < k^2 < (n+1)^2 則k一定不是整數(shù)。
性質(zhì)13:一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個因數(shù)(包括1和n本身)。
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