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數(shù)學(xué)向量公式1.單位向量:單位向量a0=向量a/|向量a|
2.P(x,y) 那么 向量OP=x向量i+y向量j
|向量OP|=根號(x平方+y平方)
3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)
那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1}
|向量P1P2|=根號[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]
4.向量a={x1,x2}向量b={x2,y2}
向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2
Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|
(x1x2+y1y2)
= ————————————————————
根號(x1平方+y1平方)*根號(x2平方+y2平方)
5.空間向量:同上推論
(提示:向量a={x,y,z})
6.充要條件:
如果向量a⊥向量b
那么向量a*向量b=0
如果向量a//向量b
那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|
或者x1/x2=y1/y2
7.|向量a±向量b|平方
=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b
=(向量a±向量b)平方
平面向量
1.基本概念:
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。
2.加法與減法的代數(shù)運算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法與減法的幾何表示:平行四邊形法則、三角形法則。
向量加法有如下規(guī)律:+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);
3.實數(shù)與向量的積:實數(shù)與向量的積是一個向量。
(1)||=||·||;
(2) 當(dāng)a>0時,與a的方向相同;當(dāng)a<0時,與a的方向相反;當(dāng)a=0時,a=0.
兩個向量共線的充要條件:
(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù),使得b= .
(2) 若=(),b=()則‖b .
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只 有一對實數(shù),,使得= e1+ e2
4.P分有向線段所成的比:
設(shè)P1、P2是直線上兩個點,點P是上不同于P1、P2的任意一點,則存在一個實數(shù)使= ,叫做點P分有向線段所成的比。
當(dāng)點P在線段上時,>0;當(dāng)點P在線段或的延長線上時,<0;
分點坐標(biāo)公式:若= ;的坐標(biāo)分別為(),(),();則(≠-1),中點坐標(biāo)公式:.
5.向量的數(shù)量積:
(1).向量的夾角:
已知兩個非零向量與b,作= , =b,則∠AOB= ()叫做向量與b的夾角。
。2).兩個向量的數(shù)量積:
已知兩個非零向量與b,它們的夾角為,則·b=||·|b|cos .
其中|b|cos 稱為向量b在方向上的投影.
(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì):
若=(),b=()則e·= ·e=||cos (e為單位向量);
⊥b ·b=0 (,b為非零向量);||= ;
cos = = .
(4) .向量的數(shù)量積的運算律:
·b=b·;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c.
6.主要思想與方法:
本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點,以數(shù)代形,以形觀數(shù),用代數(shù)的運算處理幾何問題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系,正確運用共線向量和平面向量的基本定理,向量的模、兩點的距離、向量的夾角,判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查,是知識的交匯點。