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三角函數(shù)

2018-07-20 16:02:07  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  三角函數(shù)一般用于三角形中未知長度的邊和未知的角度,在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。小編特地為大家整理了三角函數(shù)的相關(guān)知識,希望對大家有所幫助。

  三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是以角度(數(shù)學上較常用弧度制,下同)為自變量,角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用,也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學工具。在數(shù)學分析中,三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們的取值擴展到任意實數(shù)值,甚至是復數(shù)值。

  常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中,還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者得出,稱為三角恒等式。

  三角函數(shù)一般用于三角形中未知長度的邊和未知的角度,在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外,以三角函數(shù)為模版,可以定義一類相似的函數(shù),叫做雙曲函數(shù)。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率,也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們擴展到任意正數(shù)和負數(shù)值,甚至是復數(shù)值。

  在直角三角形中,當平面上的三點A、B、C的連線,AB、AC、BC,構(gòu)成一個直角三角形,其中∠ACB為直角。對∠BAC而言,對邊(opposite)a=BC、斜邊(hypotenuse)c=AB、鄰邊(adjacent)b=AC,則存在以下關(guān)系:

  基本函數(shù)英文縮寫表達式語言描述

正弦函數(shù)sina∠A的對邊比斜邊

  余弦函數(shù)cosb∠A的鄰邊比斜邊

  正切函數(shù)tana∠A的對邊比鄰邊

  余切函數(shù)cotb∠A的鄰邊比對邊

  正割函數(shù)secc∠A的斜邊比鄰邊

  余割函數(shù)csc∠A的斜邊比對邊

  注:正切函數(shù)、余切函數(shù)曾被寫作tg、ctg,現(xiàn)已不用這種寫法。

  基本三角函數(shù)關(guān)系的速記方法

如右圖,六邊形的六個角分別代表六種三角函數(shù),存在如下關(guān)系:

  1).對角相乘乘積為1,即sinθ·cscθ=1; cosθ·secθ=1; tanθ·cotθ=1。

  2).六邊形任意相鄰的三個頂點代表的三角函數(shù),處于中間位置的函數(shù)值等于與它相鄰兩個函數(shù)值的乘積,如:sinθ=cosθ·tanθ;tanθ=sinθ·secθ...

  3)陰影部分的三角形,處于上方兩個頂點的平方之和等于下頂點的平方值,如:

;

  。

  變化規(guī)律

  正弦值在

隨角度增大(減。┒龃螅p小),在

隨角度增大(減。┒鴾p小(增大);

  余弦值在

隨角度增大(減小)而增大(減。

隨角度增大(減。┒鴾p。ㄔ龃螅;

  正切值在

隨角度增大(減小)而增大(減。;

  余切值在

隨角度增大(減小)而減。ㄔ龃螅;

  正割值在

隨著角度的增大(或減小)而增大(或減。;

  余割值在

  隨著角度的增大(或減。┒鴾p。ɑ蛟龃螅。

  注:以上其他情況可類推,參考第五項:幾何性質(zhì)。

  除了上述六個常見的函數(shù),還有一些不常見的三角函數(shù):

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