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向量公式!在數(shù)學(xué)中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長(zhǎng)度:代表向量的大小。下面為大家分享向量公式!希望能幫到大家!
設(shè)a=(x,y),b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的運(yùn)算律:
交換律:a+b=b+a;
結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
當(dāng)λ>0時(shí),λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時(shí),λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意.
當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ,都有λa=0.
注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮.
當(dāng)∣λ∣>1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍;
當(dāng)∣λ∣<1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍.
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量對(duì)于數(shù)的分配律(先進(jìn)分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律:① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
3、向量的的數(shù)量積
定義:兩個(gè)非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定義:兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示:a·b=x·x'+y·y'.
向量的數(shù)量積的運(yùn)算率
a·b=b·a(交換率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量積
定義:兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.
向量的向量積性質(zhì):
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.
a×a=0.
a∥b〈=〉a×b=0.
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量沒(méi)有除法,“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。
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