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排列組合公式!排列組合是組合學較基本的概念。所謂排列,就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素,不考慮排序。下面為大家分享排列組合公式!希望能幫到大家!
公式:
排列組合公式(2張)
此外規(guī)定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6!=6x5x4x3x2x1 [1] 組合的定義:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號 C(n,m) 表示。公式:
;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)其他排列與組合公式 從n個元素中取出m個元素的循環(huán)排列數(shù)=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n個元素被分成k類,每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為C(m+k-1,m)。
符號
常見的一道題目C-Combination 組合數(shù) [2] A-Arrangement 排列數(shù)(在舊教材為P-Permutation)N-Number 元素的總個數(shù)M- 參與選擇的元素個數(shù)!- Factorial階乘
基本計數(shù)原理⑴加法原理和分類計數(shù)法⒈加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在
組合恒等式(2張)
先進類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。⒉先進類辦法的方法屬于集合A1,第二類辦法的方法屬于集合A2,……,第n類辦法的方法屬于集合An,那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。⒊分類的要求 :每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務;兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重);完成此任務的任何一種方法,都屬于某一類(即分類不漏)。⑵乘法原理和分步計數(shù)法⒈ 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做先進步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務,必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務;各步計數(shù)相互獨立;只要有一步中所采取的方法不同,則對應的完成此事的方法也不同。3.與后來的離散型隨機變量也有密切相關。
二項式定理
. [3] 通項公式:a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i二項式系數(shù):C(in)楊輝三角:右圖。兩端是1,除1外的每個數(shù)是肩上兩數(shù)之和。系數(shù)性質:⑴和首末兩端等距離的系數(shù)相等;⑵當二項式指數(shù)n是奇數(shù)時,中間兩項較大且相等;
⑶當二項式指數(shù)n是偶數(shù)時,中間一項較大;⑷二項式展開式中奇數(shù)項和偶數(shù)項總和相同,都是2^(n-1);⑸二項式展開式中所有系數(shù)總和是2^n
組合數(shù)的奇偶奇偶定義:對組合數(shù)C(n,k)(n>=k):將n,k分別化為二進制,若某二進制位對應的n為0,而k為1 ,則C(n,k)為偶數(shù);否則為奇數(shù)。下面是判定方法:結論:對于C(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數(shù),否則為偶數(shù)。證明:對于C(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數(shù),否則為偶數(shù)。
證明:利用數(shù)學歸納法:由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);對應于楊輝三角:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1………………可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論,下面證明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結論的情況下,C(n,k)滿足結論。
1).假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為奇數(shù):則有:(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) == k-1;由于k和k-1的較后一位(在這里的位指的是二進制的位,下同)必然是不同的,所以n-1的較后一位必然是1,F(xiàn)假設n&k == k。則同樣因為n-1和n的較后一位不同推出k的較后一位是1。因為n-1的較后一位是1,則n的較后一位是0,所以n&k != k,與假設矛盾。所以得n&k != k。
2).假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為偶數(shù):則有:(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) != k-1;現(xiàn)假設n&k == k.則對于k較后一位為1的情況:此時n較后一位也為1,所以有(n-1)&(k-1) == k-1,與假設矛盾。而對于k較后一位為0的情況:則k的末尾必有一部分形如:10; 代表任意個0。相應的,n對應的部分為:1{*}*; *代表0或1。而若n對應的{*}*中只要有一個為1,則(n-1)&k == k成立,所以n對應部分也應該是10。則相應的,k-1和n-1的末尾部分均為01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立,與假設矛盾。所以得n&k != k。由1)和2)得出當C(n,k)是偶數(shù)時,n&k != k。
3).假設C(n-1,k)為奇數(shù)而C(n-1,k-1)為偶數(shù):則有:(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) != k-1;顯然,k的較后一位只能是0,否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。所以k的末尾必有一部分形如:10;相應的,n-1的對應部分為:1{*}*;相應的,k-1的對應部分為:01;則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0.所以n的對應部分也就為 :1{*}*; (不會因為進位變1為0)所以 n&k = k。
4).假設C(n-1,k)為偶數(shù)而C(n-1,k-1)為奇數(shù):則有:(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) == k-1;分兩種情況:當k-1的較后一位為0時:則k-1的末尾必有一部分形如:10;相應的,k的對應部分為 : 11;相應的,n-1的對應部分為 : 1{*}0; (若為1{*}1,則(n-1)&k == k)相應的,n的對應部分為 : 1{*}1;所以n&k = k。當k-1的較后一位為1時:則k-1的末尾必有一部分形如:01; (前面的0可以是附加上去的)相應的,k的對應部分為 : 10;相應的,n-1的對應部分為 : 01; (若為11,則(n-1)&k == k)相應的,n的對應部分為 : 10;所以n&k = k。由3),4)得出當C(n,k)為奇數(shù)時,n&k = k。綜上,結論得證。
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