高考三角函數(shù)練習題整理!北京備考必做題

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　　1.三角函數(shù)與解三角形

　　1.(2017•河南百校聯(lián)盟質檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=3，cos Asin B+(c-sin A)•cos(A+C)=0.

　　(1)求角B的大小;

　　(2)若△ABC的面積為32，求sin A+sin C的值.

　　解　(1)由cos Asin B+(c-sin A)cos(A+C)=0，

　　得cos Asin B-(c-sin A)cos B=0，

　　即sin(A+B)=ccos B，sin C=ccos B，sin Cc=cos B，

　　因為sin Cc=sin Bb，

　　所以sin B3=cos B，

　　即tan B=3，又0

　　(2)由S=12acsin B=32，得ac=2，

　　由b=3及余弦定理得(3)2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，

　　所以a+c=3，所以sin A+sin C=sin Bb(a+c)=32.

　　2.已知函數(shù)f(x)=12sin 2ωxcos φ+cos2ωxsin φ+12cosπ2+φ(0<φ<π)，其圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，且過點π6，12.

　　(1)求ω和φ的值;

　　(2)求函數(shù)y=f(2x)，x∈0，π2的值域.

　　解　(1)f(x)=12sin 2ωxcos φ+1+cos 2ωx2sin φ-12sin φ

　　=12(sin 2ωxcos φ+cos 2ωxsin φ)=12sin(2ωx+φ).

　　由題意可知，T=2π=2π|2ω|，則ω=±12，

　　當ω=12，把點π6，12代入f(x)=12sin(2ωx+φ)中，可得φ=π3+2kπ，k∈Z，而0<φ<π，解得φ=π3.

　　當ω=-12，把點π6，12代入f(x)=12sin(2ωx+φ)中，可得φ=2π3+2kπ，k∈Z，而0<φ<π，解得φ=2π3.

　　(2)由題可知，當ω=12，f(2x)=12sin2x+π3，0≤x≤π2，∴π3≤2x+π3≤4π3，

　　則函數(shù)f(2x)的值域為-34，12.

　　當ω=-12時，f(2x)=12sin-2x+2π3=12sin2x+π3，

　　∵0≤x≤π2，∴π3≤2x+π3≤4π3，則函數(shù)f(2x)的值域為-34，12.綜上，函數(shù)f(2x)的值域為-34，12.

　　3.(2017•湖南邵陽大聯(lián)考)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=1，sin2A+Bsin A=2(1-cos C).

　　(1)求b的值;

　　(2)若△ABC的面積為32，求c的值.

　　解　(1)∵sin(2A+B)=2sin A(1-cos C)，

　　∴sin[(A+B)+A]=2sin A-2sin Acos C，

　　sin(A+B)cos A+cos(A+B)sin A=2sin A+2sin Acos(A+B)，

　　sin(A+B)cos A-cos(A+B)sin A=2sin A，

　　∴sin B=2sin A，

　　由正弦定理得b=2a，又a=1，

　　∴b=2.

　　(2)∵S△ABC=12absin C=12×1×2sin C=32，

　　∴sin C=32，cos C=±12，

　　當cos C=12時，cos C=a2+b2-c22ab=1+4-c24=12，∴c=3;

　　當cos C=-12時，cos C=a2+b2-c22ab=1+4-c24=-12，∴c=7.

　　故c=3或c=7.

　　4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，b=13.

　　(1)若3sin C=4sin A，求c的值;

　　(2)求a+c的較大值.

　　解　(1)由角A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B=A+C.

　　又A+B+C=π，所以B=π3.

　　由正弦定理，得3c=4a，即a=3c4.

　　由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B，

　　即13=3c42+c2-2×3c4×c×12，解得c=4.

　　(2)由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=1332=2133，

　　所以a=2133sin A，c=2133sin C.

　　所以a+c=2133(sin A+sin C)=2133[sin A+sin(A+B)]

　　=2133sin A+sinA+π3=213332sin A+32cos A=213sinA+π6.

　　由0

　　所以當A+π6=π2，

　　即A=π3時，(a+c)max=213.

　　5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=cos A，cos B，n=a，2c-b，且m∥n.

　　(1)求角A的大小;

　　(2)若a=4，求△ABC面積的較大值.

　　解　(1)∵m∥n，∴acos B-2c-bcos A=0，

　　由正弦定理得sin Acos B-2sin C-sin Bcos A=0，

　　∴sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A，

　　∴sin(A+B)=2sin Ccos A，

　　由A+B+C=π，得sin C=2sin Ccos A

　　由于00，

　　∴cos A=12，由于0

　　(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

　　∴16=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，

　　∴bc≤16，當且僅當b=c=4時，等號成立，

　　∴△ABC面積S=12bcsin A≤43，

　　∴△ABC面積的較大值為43.

　　6.(2017•吉林二調)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0，|φ|<π2的部分圖象如圖所示.

　　(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

　　(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若(2a-c)cos B=bcos C，求f A2的取值范圍.

　　解　(1)由圖象知A=1，T=45π12-π6=π，ω=2，

　　將點π6，1代入解析式得sinπ3+φ=1，

　　因為|φ|<π2，所以φ=π6，

　　所以f(x)=sin2x+π6.

　　(2)由(2a-c)cos B=bcos C及正弦定理，

　　得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C.

　　所以2sin Acos B=sin(B+C)，

　　cos B=12，B=π3，A+C=2π3，

　　f A2=sinA+π6，0

　　所以sinA+π6∈12，1，

　　所以f A2的取值范圍是12，1.

　　一、見“給角求值”問題，運用“新興”誘導公式 一步到位轉換到區(qū)間(-90o，90o)的公式.

　　1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);

　　2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);

　　3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);

　　4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

　　二、見“sinα±cosα”問題，運用三角“八卦圖”

　　1.sinα+cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y+x=0的上方(或下方);

　　2. sinα-cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y-x=0的上方(或下方);

　　3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內;

　　4.|sinα|<|cosα|óα的終邊在Ⅰ、Ⅳ區(qū)域內.

　　三、見“知1求5”問題，造Rt△，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符號看象限”。

　　四、見“切割”問題，轉換成“弦”的問題。

　　五、“見齊思弦”=>“化弦為一”：已知tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉化為sin2α+cos2α.

　　六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：

　　1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;

　　2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

　　七、見“sinα±cosα與sinαcosα”問題，起用平方法則：

　　(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

　　1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;

　　2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.

　　八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ”問題，啟用變形公式:

　　tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=???

　　九、見三角函數(shù)“對稱”問題，啟用圖象特征代數(shù)關系：(A≠0)

　　1.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關于過較值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱;

　　2.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關于其中間零點分別成中心對稱;

　　3.同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+φ)和函數(shù)y=Acot(wx+φ)的對稱性質。

　　十、見“求較值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式：

　　1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

　　2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

　　3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.

　　十一、見“高次”，用降冪，見“復角”，用轉化.

　　1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

　　2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

　　三角函數(shù)模型歸納

　　有關三角函數(shù)的運算，當只出現(xiàn)一個未知角，但伴隨與特殊角的組合或多種三角函數(shù)綜合使用使三角運算豐富多樣，要解決這些問題，我們需要掌握一個基本原則，那就是“化簡”，使用的公式包括同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式.

　　同角三角函數(shù)基本關系式有兩個：sin2α+cos2α=1，tan α=sinα

　　cosα在使用同角三角函數(shù)基本關系式的時候需

　　隨時注重題目與基本課堂知識的結合，注意題目難度的布置。

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