2021上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：收斂數(shù)列和函數(shù)收斂

　　1、收斂數(shù)列

　　令{an}為一個(gè)數(shù)列，且A為一個(gè)固定的實(shí)數(shù)，如果對(duì)于任意給出的b>0,存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)于任意n>N,有|an-A|

　　2、函數(shù)收斂

　　定義方式與數(shù)列收斂類似�？挛魇諗繙�(zhǔn)則：關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的收斂定義。對(duì)于任意實(shí)數(shù)b>0,存在c>0,對(duì)任意x1,x2滿足0<|x1-x0|

　　收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的精神實(shí)質(zhì)。

　　如果給定一個(gè)定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x)， u2(x) ，u3(x)……至un(x)……. 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的(函數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)

　　對(duì)于每一個(gè)確定的值X0∈I,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+……+un(x0)+.... (2) 這個(gè)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。如果級(jí)數(shù)(2)發(fā)散，就稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的收斂點(diǎn)的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為他的發(fā)散域 對(duì)應(yīng)于收斂域內(nèi)任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù) ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)S(x)，通常稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并寫成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 的前n項(xiàng)部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)

　　記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng) (當(dāng)然，只有x在收斂域上rn(x)才有意義，并有l(wèi)im n→∞rn (x)=0

　　3、數(shù)學(xué)分析術(shù)語(yǔ)發(fā)散

　　在數(shù)學(xué)分析中，與收斂相對(duì)的概念就是發(fā)散。發(fā)散級(jí)數(shù)指(按柯西意義下)不收斂的級(jí)數(shù)。如級(jí)數(shù)1+2+3+4+……和1-1+1-1+……，也就是說該級(jí)數(shù)的部分和序列沒有一個(gè)有窮極限。

　　如果一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，這個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)一定會(huì)趨于零。因此，任何一個(gè)項(xiàng)不趨于零的級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。不過，收斂是比這更強(qiáng)的要求：不是每個(gè)項(xiàng)趨于零的級(jí)數(shù)都收斂。其中一個(gè)反例是調(diào)和級(jí)數(shù)。