二元一次方程組典型例題及其答案，一次解決應(yīng)用題

一、實際問題與二元一次方程組的思路

 

1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系。

 

一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：

 

① 方程兩邊表示的是同類量；

 

② 同類量的單位要統(tǒng)一；

 

③ 方程兩邊的數(shù)要相等。

 

2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)：

 

用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；

 

列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；

 

解：解方程組，求出未知數(shù)的值；

 

答：寫出答案。

 

3.要點詮釋

 

（1）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

 

（2）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組。

 

二、八大典型例題詳解

 

1.和差倍數(shù)問題

 

知識梳理和差問題是已知兩個數(shù)的和或這兩個數(shù)的差，以及這兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)各是多少。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】由甲乙兩人2分鐘共打了240個字可以得到第一個等量關(guān)系式2(x+y)=240，再由甲每分鐘比乙多打10個字可以得到第二個等量關(guān)系式x-y=10，組成方程組求解即可。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】由甲組學(xué)生人數(shù)是乙組的3倍可以得到第一個等量關(guān)系式x=3y，由乙組的學(xué)生人數(shù)比甲組的3倍少40人可以得到第二個等量關(guān)系式3x-y=40，組成方程組求解即可。

 

2.產(chǎn)品配套問題

 

知識梳理總?cè)藬?shù)等于生產(chǎn)各個產(chǎn)品的人數(shù)之和；各個產(chǎn)品數(shù)量之間的比例符合整體要求。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】本題的第一個等量關(guān)系比較容易得出：生產(chǎn)螺釘和螺母的工人共有22名；第二個等量關(guān)系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數(shù)量是螺釘?shù)臄?shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫反）。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】根據(jù)共有170名學(xué)生可得出第一個等量關(guān)系x+y=170，根據(jù)每個樹坑對應(yīng)一棵樹可得第二個等量關(guān)系3x=7y，組成方程組求解即可。

 

3.工作量問題

 

知識梳理我們在解決工程問題時通常把工作總量看成1；

 

工作量＝工作效率×工作時間；

 

總工作量=每個個體工作量之和；

 

工作效率=工作量÷工作時間(即單位時間的工作量)；

 

工作效率=1÷完成工作的總時間。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】

 

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】

 

 

4.利潤問題

 

知識梳理商品利潤＝商品售價－商品進價；利潤率=利潤÷進價×100%。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】本題有兩個未知數(shù)，即商品本錢和預(yù)售總價，也有兩個明顯的等量關(guān)系，即兩種打折出售的獲利情況，根據(jù)售價-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】本題易知第一個等量關(guān)系為甲乙兩種商品共50件，則有x+y=50。

 

根據(jù)甲乙商品的進價和利潤率可知甲商品每件利潤為35×0.2=7元，乙商品每件利潤為20×0.15=3元，再由所獲總利潤得到第二個等量關(guān)系，組成方程組求解即可。

 

5.行程問題

 

知識梳理路程=速度×時間；

 

相遇問題：快行距＋慢行距＝原距追及問題：

 

快行距－慢行距＝原距航行問題：

 

順?biāo)?風(fēng))速度＝靜水(風(fēng))速度＋水流(風(fēng))速度逆水(風(fēng))速度＝靜水(風(fēng))速度－水流(風(fēng))速度

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關(guān)系列方程(組)求解，要明確快車與慢車的路程與A、B兩地的距離之間的關(guān)系，相向而行兩車相遇時：快車路程+慢車路程=A、B兩地距離；同向而行兩車相遇時：快車路程-慢車路程=A、B兩地距離。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】根據(jù)水流速度與船在靜水中的速度的關(guān)系可以得到船的順?biāo)�速度和逆水速度，再根�?jù)路程=時間×速度列出方程組求解。

 

6.存貸款問題

 

知識梳理利息=本金×利率×期數(shù)；本息和（本利和）＝本金＋利息。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款＝13萬元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息＝6075元。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】本題兩種儲蓄的年利率之和為3.24%，由此可得到第一個等量關(guān)系x+y=3.24%，再由兩種儲蓄的利息之和可得第二個等量關(guān)系，列方程組求解即可。

 

7.數(shù)字問題

 

知識梳理已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】本題中的等量關(guān)系：

 

①個位上的數(shù)－十位上的數(shù)＝5；

 

②原數(shù)+新數(shù)＝143。

 

變式拓展：

 

 

【思路點撥】本題中的等量關(guān)系：

 

①個位上的數(shù)+十位上的數(shù)＝8；

 

②原數(shù)-新數(shù)＝18。

 

8.方案問題

 

知識梳理在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。

 

要點詮釋：方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。

 

典型例題：

 

 

【思路點撥】（1）本小問兩個等量關(guān)系均可利用貨物的總噸數(shù)等于兩種車型所運貨物噸數(shù)之和，每種車型所運貨物的噸數(shù)等于該種車的數(shù)量乘以每輛車裝滿貨物時可運輸?shù)呢浳飮崝?shù)，列出方程即可。

 

（2）根據(jù)貨物的總噸數(shù)等于兩種車型所運貨物噸數(shù)之和列出方程，求解即可。

 

（3）總費用等于A型車的總費用加上B型車的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢的租車方案。

 

變式拓展：