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2017中考數學復習指導:三角形
(一)三角形的重心
已知:△ABC中,D為BC中點,E為AC中點,AD與BE交于O,CO延長線交AB于F.求證:F為AB中點。
證明:根據燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再應用燕尾定理即得AF=BF,命題得證。
重心的幾條性質:
1.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
2.重心到三角形3個頂點距離的平方和較小。
3.在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均,即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標系——橫坐標:(X1+X2+X3)/3縱坐標:(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標:(Z1+Z2+Z3)/3
4重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.
5.重心是三角形內到三邊距離之積較大的點。
如果用塞瓦定理證,則極易證三條中線交于一點。
(二)相似三角形
1相似三角形對應角相等、對應邊成比例。
2相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比)。
3相似三角形對應面積的比等于相似比的平方。
(三)三角形全等
全等的條件
1.兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等,兩個三角形全等,簡稱“邊角邊”或“SAS”。
2.兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等,兩個三角形全等,簡稱“角邊角”或“ASA”。
3.兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等,兩個三角形全等,簡稱“角角邊”或“AAS”。
4.兩個三角形對應的三條邊相等,兩個三角形全等,簡稱“邊邊邊”或“SSS”。
5.兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等,兩個直角三角形全等,簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。
注意,證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法,即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等,但從意義上來說,直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。
(四)內角和
在歐幾里得的幾何體系中,三角形都是平面上的,所以三角形的內角和為180度;三角形的一個外角等于兩個不相鄰的內角的和;三角形的一個外角大于其他兩內角的任一個角。
證明:根據三角形的外角和等于內角可以證明,詳細參見《較高:走進三角形》
如何證明三角形的內角和等于180°
方法1:將三角形的三個角撕下來拼在一起,可求出內角和為180°。
方法2:在三角形任意一個頂點處做輔助線,可求出內角和為180°。
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