高二數(shù)學(xué)橢圓解題技巧

2017-07-11 19:05:43 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　一、設(shè)點(diǎn)或直線

　　做題一般都需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程，其中點(diǎn)或直線的設(shè)法有很多種。其中點(diǎn)可以設(shè)為

　　等，如果是在橢圓

　　上的點(diǎn)，還可以設(shè)為

　　。一般來說，如果題目中只涉及到一個橢圓上的的動點(diǎn)，這個點(diǎn)可以設(shè)為

　　。還要注意的是，很多點(diǎn)的坐標(biāo)都是設(shè)而不求的。對于一條直線，如果過定點(diǎn)

　　并且不與y軸平行，可以設(shè)點(diǎn)斜式

　　,如果不與x軸平行，可以設(shè)

　　，如果只是過定點(diǎn)，可以設(shè)參數(shù)方程

　　，其中α是直線的傾斜角。一般題目中涉及到動直線時可以設(shè)直線的參數(shù)方程。

　　二、轉(zhuǎn)化條件

　　有的時候題目給的條件是不能直接用或直接用起來不方便的，這時候就需要將這些條件轉(zhuǎn)化一下。對于一道題來說這是至關(guān)重要的一步，如果轉(zhuǎn)化得巧，可以極大地降低運(yùn)算量。比如點(diǎn)在圓上可以轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)乘得零，三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化成兩個向量平行，某個角的角平分線是一條水平或豎直直線則這個角的兩條邊斜率和是零。

　　有的題目可能不需要轉(zhuǎn)化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉(zhuǎn)化方式，這時候較好先別急著做題，多想幾種轉(zhuǎn)化方法，估計(jì)一下哪種方法更簡單。

　　三、代數(shù)運(yùn)算

　　轉(zhuǎn)化完條件就剩算數(shù)了。很多題目都要將直線與橢圓聯(lián)立以便使用一元二次方程的韋達(dá)定理，但要注意并不是所有題目都是這樣。有的題目可能需要算弦長，可以用弦長公式

　　，設(shè)參數(shù)方程時，弦長公式可以簡化為

　　解析幾何中有時要求面積，如果O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為

　　和

　　，AB與x軸交于D，則

　　(d是點(diǎn)O到AB的距離;第三個公式是我自己推的，教材上沒有，解答題慎用)。

　　解析幾何中很多題都有動點(diǎn)或動直線。如果題目只涉及到一個動點(diǎn)時，可以考慮用參數(shù)設(shè)點(diǎn)。若是只涉及一個過定點(diǎn)的動直線，題目中又涉及到求長度面積之類的東西，這時設(shè)直線的參數(shù)方程會簡單一些。

　　在解析幾何中還有一種方法叫點(diǎn)差法，設(shè)橢圓上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與這兩點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系式。

　　四、能力要求

　　做解析幾何題，首先對人的耐心與信心是一種考驗(yàn)。在做題過程中可能遇到會一大長串的式子要化簡，這時候，只要你方向沒錯，堅(jiān)持算下去肯定能看到較終的結(jié)果。另外運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率也是很重要的，在真正診斷的時候肯定不像平時做題的時候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時候運(yùn)算準(zhǔn)確也是必須要助力的，因?yàn)橐坏┧沐e數(shù)，就很可能功虧一簣。

　　五、理論拓展

　　這一部分主要說一些對做題有幫助的公式、定理、推論等內(nèi)容

　　關(guān)于直線：

　　1、將直線的兩點(diǎn)式整理后，可以得到這個方程:

　　。據(jù)此可以直接寫出過

　　和

　　兩點(diǎn)的直線，至于這兩點(diǎn)連線是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒有關(guān)系。對于一些坐標(biāo)很復(fù)雜的點(diǎn)，可以直接代入這個方程便捷的得到過兩點(diǎn)的直線。

　　2、直線一般式Ax+By+C=0表示的這條直線和向量(A,B)垂直;過定點(diǎn)

　　的直線的一般式可以寫為

　　。根據(jù)這兩條推論可以助力地寫出兩點(diǎn)的垂直平分線的方程。

　　關(guān)于橢圓：

　　3、橢圓