求和公式

2018-07-26 15:37:10 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　求和公式！數(shù)列求和對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進(jìn)行求和。求Sn實(shí)質(zhì)上是求{Sn}的通項(xiàng)公式，應(yīng)注意對其含義的理解。常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和。下面為大家分享求和公式!希望能幫到大家！

　　公式法

等差數(shù)列求和公式:

(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2

舉例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9÷2=45等比數(shù)列求和公式：

差比數(shù)列求和公式：

a:等差數(shù)列首項(xiàng)d:等差數(shù)列公差e:等比數(shù)列首項(xiàng)q:等比數(shù)列公比其他

錯位相減法

適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式(等差等比數(shù)列相乘){ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例如：

______①

Tn=上述式子/(1-q)此外.①式可變形為

Sn為{bn}的前n項(xiàng)和.此形式更理解也好記

倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1+an)Sn =a1+ a2+ a3+...... +anSn =an+ an-1+an-2...... +a1上下相加得Sn=(a1+an)n/2

分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例如：an=2n+n-1，可看做是2n與n-1的和Sn=a1+a2+...+an=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2=2n+1+n(n-1)/2-2

裂項(xiàng)相消法

適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時抵消中間的許多項(xiàng)。常用公式：(1)

(2)

(3)

(4)

(當(dāng)a≠b時)(5)

[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1) 的前n項(xiàng)和.

解：an=1/n(n+1)=

(裂項(xiàng))則Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項(xiàng)求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1)小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1、余下的項(xiàng)前后的位置前后是對稱的。2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：(1)證明當(dāng)n取先進(jìn)個值時命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n的先進(jìn)個值，k為自然數(shù))時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：當(dāng)n=1時，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設(shè)命題在n=k時成立，

于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當(dāng)n=k+1時有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

通項(xiàng)化歸法

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求和。如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。

并項(xiàng)求和法

(常采用先試探后求和的方法)例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n方法一：(并項(xiàng))求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。方法二：(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]方法三：構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。an=n(-1)^(n+1)

求和公式編輯通項(xiàng)式為K^m (m為自然數(shù))的數(shù)列求和公式

系數(shù)數(shù)列為

為{1;1/2;1/12;0;-1/720;0;……}其除第二項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)皆為0,證明略.例如m等于2 求和公式

通項(xiàng)式為多項(xiàng)式的數(shù)列求和公式通項(xiàng)式為多項(xiàng)式的數(shù)列求和公式為其中各項(xiàng)求和公式簡單的線性組合。不做贅述。

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