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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之對(duì)數(shù)函數(shù)！元旦過(guò)后就是緊張的期末診斷了。大家準(zhǔn)備的怎么樣了？同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)前，都要把定義弄明白，弄透徹，加上訓(xùn)練就會(huì)熟練掌握了！當(dāng)然診斷之前還是要復(fù)習(xí)一下的。愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之對(duì)數(shù)函數(shù)希望對(duì)同學(xué)們有幫助！
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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之對(duì)數(shù)函數(shù)(一)
對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說(shuō)以冪為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
“log”是拉丁文logarithm(對(duì)數(shù))的縮寫，讀作：[英][l?ɡ][美][l?ɡ, lɑɡ]。
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之對(duì)數(shù)函數(shù)(二)
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對(duì)數(shù) *表示乘號(hào)，/表示除號(hào) 定義式： 若a^n=b(a0且a1) 則n=log(a)(b) 基本性質(zhì)： 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推導(dǎo) 1.這個(gè)就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對(duì)數(shù)
*表示乘號(hào)，/表示除號(hào)
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質(zhì)：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導(dǎo)
1.這個(gè)就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.與2類似處理
MN=M/N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.與2類似處理
M^n=M^n
由基本性質(zhì)1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性質(zhì)：
性質(zhì)一：換底公式
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
推導(dǎo)如下
N=a^[log(a)(N)]
a=b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得
N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因?yàn)镹=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問(wèn)看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
性質(zhì)二：
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導(dǎo)如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對(duì)數(shù)的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
由基本性質(zhì)4可得
log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之對(duì)數(shù)函數(shù)(三)
log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下:
由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對(duì)數(shù),log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
還可變形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
三角函數(shù)的和差化積公式
sinα+sinβ=2sin(α+β)/2·cos(α-β)/2
sinα-sinβ=2cos(α+β)/2·sin(α-β)/2
cosα+cosβ=2cos(α+β)/2·cos(α-β)/2
cosα-cosβ=-2sin(α+β)/2·sin(α-β)/2
三角函數(shù)的積化和差公式
sinα·cosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
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