高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之不等式

2019-01-16 16:46:54 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之不等式！一月的到來，期末診斷也就不遠(yuǎn)了，大家準(zhǔn)備好了嗎？不等式是千變?nèi)f化的，不是你想像的那么簡(jiǎn)單，書上那些題只是課堂訓(xùn)練，不要止步不前。多看，多練，多想是非常必要的，較好還得有點(diǎn)經(jīng)典的筆記下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之不等式希望對(duì)同學(xué)們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之不等式(一)

　　不等式的題也是千變?nèi)f化的，很靈活，不多看點(diǎn)題肯定是不行的。

　　象柯西不等式，排序不等式都是很重要的不等式。經(jīng)常考慮一題有沒有多種的證明方法，時(shí)常這么考慮是有好處的。敢說不懂柯西不等式的人在不等式里根本沒入門，不懂排序不等式的人根本不入流。

　　先給你把兩個(gè)不等式證明了!

　　柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解�？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)較值，解方程等問題的方面得到應(yīng)用

　　柯西不等式的一般證法有以下幾種：

　　■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

　　我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

　　則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.

　　用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

　　于是移項(xiàng)得到結(jié)論。

　　■②用向量來證.

　　m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

　　因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

　　這就證明了不等式.

　　柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法.

　　[編輯本段]【柯西不等式的應(yīng)用】

　　柯西不等式在求某些函數(shù)較值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

　　■巧拆常數(shù)：

　　例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。

　　求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

　　分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù)

　　∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

　　又 9=(1+1+1)(1+1+1)

　　證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

　　又 a、b 、c 各不相等，故等號(hào)不能成立

　　∴原不等式成立。

　　排序不等式是高中數(shù)學(xué)大綱、新課標(biāo) 要求的基本不等式。

　　設(shè)有兩組數(shù) a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n-1+……+ a n b 1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個(gè)排列，當(dāng)且僅當(dāng) a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 時(shí)成立。

　　排序不等式常用于與順序無(wú)關(guān)的一組數(shù)乘積的關(guān)系。可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an，確定大小關(guān)系.

　　使用時(shí)常構(gòu)造一組數(shù)，使其與原數(shù)構(gòu)成乘積關(guān)系，以便求解。適用于分式、乘積式尤其是輪換不等式的證明。

　　以上排序不等式也可簡(jiǎn)記為：反序和≤亂序和≤同序和.

　　證明時(shí)可采用逐步調(diào)整法。

　　例如，證明：其余不變時(shí)，將a 1 b 1 + a 2 b 2 調(diào)整為a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值變小，只需作差證明(a 1 -a 2 )*(b 1 -b 2 )≥0，這由題知成立。

　　依次類推，根據(jù)逐步調(diào)整法，排序不等式得證。

　　時(shí)�？紤]不等式可否取等也是有必要的!

　　當(dāng)00

　　g(n+1)-g(n)

　　=1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+…1/2^(n+1)-(n+3)/2

　　+(n+2)/2

　　>2^n*1/2^(n+1)-1/2=1/2-1/2=0

　　g(n)單調(diào)遞增。

　　g(n)>g(2)>0

　　即f(2^n)-(n+2)/2 >0

　　∴命題得證。

　　已知定義在R上的函數(shù)F(X)滿足f(x)=f(4-x)，又函數(shù)f(x+2)在[0，正無(wú)窮)上單調(diào)遞減。

　　(1)求不等式f(3x)>f(2x-1)?

　　為什么f(3x)>f(2x-1)等價(jià)于|3x-2|<|2x-1-2|?

　　還有f(x)圖像應(yīng)向左平移2個(gè)單位才得到f(x+2)，所以函數(shù)f(x)在[-2，到正無(wú)窮)上單調(diào)遞減啊?

　　f(x+2)在[0，正無(wú)窮)上單調(diào)遞減

　　則：f(x)在[2,正無(wú)窮)單調(diào)遞減

　　而當(dāng)x屬于(負(fù)無(wú)窮，2]時(shí)

　　4-x 屬于[2,正無(wú)窮)

　　即f(x)=f(4-x)使得f(x)關(guān)于x=2軸對(duì)稱

　　所以當(dāng)|3x-2|<|2x-1-2|時(shí)，f(|3x-2|)>f(|2x-1-2|)。

　　另外，有個(gè)技巧：以后遇到這類題不要用平移。要用區(qū)間：

　　如，f(x)，f(4-x)，f(x+2);當(dāng)你要搞清楚各個(gè)函數(shù)的自變量關(guān)系時(shí)，可以：

　　令x屬于某個(gè)區(qū)間，再判斷此時(shí)4-x或x+2屬于哪個(gè)區(qū)間。因?yàn)樵趂(x)下()里面的是一個(gè)整體，穿花扁拘壯餃憋邪鉑矛就像上邊一樣如果t+2中的t屬于[0，正無(wú)窮);那么t+2這個(gè)整體就屬于[2,正無(wú)窮);因此f(x)里的x代替t+2后;兩個(gè)函數(shù)就有f(t+2)在[0，正無(wú)窮)單調(diào)遞減，f(x)[2,正無(wú)窮)單調(diào)遞增。

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之不等式(二)