北京初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

2020-05-04 12:09:38 　來(lái)源：百度文庫(kù)

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北京初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

　　I.定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

　　y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)

　　則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式:y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　　頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

　　交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]

　　注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線

　　x = -b/2a。

　　對(duì)稱(chēng)軸與拋物線先進(jìn)的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

　　當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

　　|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

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　　二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=ax^2;+bx+c，

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程)，

　　即ax^2;+bx+c=0

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　答案補(bǔ)充

　　畫(huà)拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，較后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。

　　二次函數(shù)解析式的幾種形式

　　(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).

　　(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

　　(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.

　　說(shuō)明:(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

　　答案補(bǔ)充

　　如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對(duì)稱(chēng)軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對(duì)稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k

　　定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。)

　　則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　�、僖话闶�:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

　�、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h，k) ]:y=a(x-h)^2+k