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高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識點

2021-09-10 13:26:28  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

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高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識點!高中想學(xué)好數(shù)學(xué),一定要認真聽課,成績好的孩子有個最大的特點,就是會聽課。尤其是理科科目,課堂搞好了,學(xué)習(xí)自然就輕松了,作業(yè)也會做了,會做題了,考試自然也不難了。下面,小編為大家?guī)?/span>高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識點。

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

1. 導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)定義域的一點,如果自變量x在x0有增量∆x,則函數(shù)值y引起相應(yīng)的增量∆y=f(x0+∆x)-f(x0);比值∆y/∆x=[f(x0+∆x)-f(x0)]/∆x稱為函數(shù)y=f(x)在點x0到x0+∆x之間的平均變化率;如果極限

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),并把這個極限叫做y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f´(x0)或y´|x=x0,即f´(x0)=

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

注:①∆x是增量,我們也稱為“改變量”,因為∆x可正,可負,但不為零.

②以知函數(shù)y=f(x)定義域為A,y=f'(x)的定義域為B,則A與B關(guān)系為包含且等于.

2. 函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導(dǎo)的關(guān)系:

⑴函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)是y=f(x)在點x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.

可以證明,如果y=f(x)在點x0處可導(dǎo),那么y=f(x)點x0處連續(xù).

事實上,令x=x0+∆x,則x→x0相當(dāng)于∆x→0.

于是

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

 

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

 

⑵如果y=f(x)點x0處連續(xù),那么y=f(x)在點x0處可導(dǎo),是不成立的.

例:f(x)=|x|在點x0=0處連續(xù),但在點x0=0處不可導(dǎo),因為∆y/∆x=|∆x|/∆x,當(dāng)∆x>0時,∆y/∆x=1;當(dāng)∆x<0時,∆y/∆x=-1,故

高三數(shù)學(xué)知識點-導(dǎo)數(shù)

 

不存在.

注:①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率,也就是說,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f'(x0),切線方程為y-y0=f'(x)(x-x0).

4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則:

(u±v)'=u'±v'=>y=f₁(x)+f₂(x)+...+fn(x)=>y'=f'₁(x)+f'₂(x)+...+f'n(x)

(uv)'=vu'+v'u=>(cv)'=c'v+cv'=cv'(c為常數(shù))

(u/v)'=(vu'-v'u)/v²(v≠0)

注:①u,v須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如:設(shè)f(x)=2sinx+2/x,g(x)=cosx-2/x,則f(x),g(x)在x=0處均不可導(dǎo),但它們和f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處均可導(dǎo).

5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:f'x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或y'x=y'u·u'x

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.

6. 函數(shù)單調(diào)性:

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f'(x)>0,則y=f(x)為增函數(shù);如果f'(x)<0,則y=f(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法;

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f'(x)=0,則y=f(x)為常數(shù).

注:①f(x)>0是f(x)遞增的充分條件,但不是必要條件,如y=2x³在(-∞,+∞)上并不是都有f(x)>0,有一個點例外即x=0時f(x) = 0,同樣f(x)<0是f(x)遞減的充分非必要條件.

②一般地,如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零,在其余各點均為正(或負),那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.

7. 極值的判別方法:(極值是在x0附近所有的點,都有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值,極小值同理)

當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時,

①如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;

②如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不是f'(x)=0①. 此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②. 當(dāng)然,極值是一個局部概念,極值點的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值。ê瘮(shù)在某一點附近的點不同).

注①: 若點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值點,則f'(x)=0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù),其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.

例如:函數(shù)y=f(x)=x³,x=0使f'(x)=0,但x=0不是極值點.

②例如:函數(shù)y=f(x)=|x|,在點x=0不可導(dǎo),但點x=0是函數(shù)的極小值點.

8. 極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進行比較,最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.

注:函數(shù)的極值點一定有意義.

9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù):

I.C'=0(C為常數(shù)) (sinx)'=cosx (arcsinx)'=1/√(1-x²)

(xⁿ)'=nx(n-1)次方(n∈R) (cosx)'=-sinx (arccosx)'=-1/√(1-x²)

II. (ln x)'=1/x (log a x)'=1/xlogae (arctanx)'=1/(x²+1)

(e的x次方)'= e的x次方 (a的x次方)'=a的x次方lna (arc cotx)'=-1/(x²+1)

III. 求導(dǎo)的常見方法:

①常用結(jié)論:(ln|x|)'=1/x.

②形如y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)或y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)/(x-b₁)(x-b₂)...(x-bn)兩邊同取自然對數(shù),可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如y=x的x次方這類函數(shù),如y=x的x次方取自然對數(shù)之后可變形為y=lnx,對兩邊求導(dǎo)可得y/y=lnx+x*1/x=>y'=ylnx+y=>y'=x的x次方lnx+x的x次方.

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重視課堂學(xué)習(xí)和課后作業(yè),以課堂為中心, 專心聽課,記好筆記..

專注”是課堂上最高的智力活動.學(xué)會控制自己的注意力,聽講、做題要專心,不要隨意分散課堂注意力.做到“手中有筆,筆下有本,隨時記錄”.及時記錄老師總結(jié)的要點和方法、注意事項等.

專注于聽講、思考、分析等,專注于聽老師和同學(xué)的講解,及時記錄,有疑惑的課下及時解決.聽課要抓住要點(非抄黑板),記好筆記.筆記內(nèi)容是課本知識的濃縮,是老師多年來教學(xué)經(jīng)驗的精華,記好筆記可防止上課開小差,將來復(fù)習(xí)時也有依據(jù).

聽課要積極思維,做好四到:

“心到”,即注意力高度集中,認真聽講;

“眼到”,即仔細看清老師每一步板書;

“手到”,即適當(dāng)做好筆記;

“口到”,即與老師呼應(yīng),回答老師的提問,及老師了解你的聽課狀態(tài),提高聽課效率。

落實課后作業(yè),將落實進行到底.

落實當(dāng)天的作業(yè),堅持每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強調(diào)連續(xù)性。今天的作業(yè)及時完成了嗎?不會的題目有多少?不會的題目整理到錯題本上了嗎?會的題目都寫了嗎?

執(zhí)行力決定一切.只有去做,才會有收獲。只有堅決的、不講條件的、保質(zhì)保量完成學(xué)習(xí)任務(wù),才能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)規(guī)律。

 

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