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高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2021-09-25 22:37:58  來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理

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  二次函數(shù)

  I.定義與定義表達(dá)式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

  y=ax’2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)

  則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

  II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

  一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) 頂點(diǎn)式:y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系: h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

  III.二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像,

  可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質(zhì)

  1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=-b/2a。

  對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

  特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為 P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a) 當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

  當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開(kāi)口。

  |a|越大,則拋物線的開(kāi)口越小。

  4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

  當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

  當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

  5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

  Δ=b’2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

  Δ=b’2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

  Δ=b’2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

  V.二次函數(shù)與一元二次方程

  特別地,二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=ax’2+bx+c,

  當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程),即ax’2+bx+c=0 此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

  函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

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