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高中函數(shù)分類!知識的學(xué)習(xí)重在理解,而理解只能通過思考才能實(shí)現(xiàn),思考的源泉是問題,在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意不要輕易放過任何問題,有了問題不要急于問人,應(yīng)力求獨(dú)力思考,自己動手動腦去尋找問題的正確答案,這樣做才有利于思考能力的提高,下面,小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">高中函數(shù)分類。
知識點(diǎn)1:單調(diào)性
一、單調(diào)性的證明方法:定義法及導(dǎo)數(shù)法
1、定義法:利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是:①任取x1、x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2),并適當(dāng)變形(“分解因式”、配方成同號項(xiàng)的和等);
③依據(jù)差式的符號確定其增減性。
2、導(dǎo)數(shù)法:
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)。如果f′(x)>0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。
補(bǔ)充
a.若使得f′(x)=0的x的值只有有限個,則如果f ′(x)≥0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù);如果f′(x) ≤0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。
b.單調(diào)性的判斷方法:定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)、用已知函數(shù)的單調(diào)性等。
二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論
1、若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)仍為增(減)函數(shù)。
2、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性。
3、y=f[g(x)]是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為增函數(shù);若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反,則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為減函數(shù),簡稱”同增異減”。
4、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反。
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I.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]
交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
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