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北京期末初中數(shù)學中二次函數(shù)動態(tài)幾何圖形變化問題淺析!學習較重要的就是自己的決心,都說數(shù)學這些題目難,那些題目難,其實哪有那么多難題,都是你們自己的心理問題,就算有,只要你有信心,所有問題都可以解決。下面,小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">北京期末初中數(shù)學中二次函數(shù)動態(tài)幾何圖形變化問題淺析。
北京期末初中數(shù)學中二次函數(shù)動態(tài)幾何圖形變化問題淺析
點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何問題。它主要以幾何圖形為載體,運動變化為主線,函數(shù)為背景,集多個知識點為一體,集多種解題思想于一題。這類題綜合性強,能力要求高,它能全面的考查孩子的實踐操作能力,空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.本類問題主要有動點、動線、動面三個方面的問題。其中動點問題有單動點和雙動點兩種類型,無論是動點、動線、單動點還是雙動點,我們都要注意到如何在動中求靜,在靜中求解,找到相應的關系式,把想知道的量用常量或含自變量的關系式表示出來。下面就以二次函數(shù)為背景的動態(tài)問題和單純幾何圖形變化的動態(tài)問題采擷幾例加以分類淺析,供讀者參考。
一、以二次函數(shù)為背景的動態(tài)問題
1.單動點與二次函數(shù)
例l,(2009年深圳)已知:Rt△ABC的斜邊長為5。斜邊上的高為2,將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中,使其斜邊AB與x軸重合(其中OA<OB),直角頂點C落在y軸正半軸上(如圖1).
(1)求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關系式.
(2)如圖2,點D的坐標為(2,0),點P(m,n)是該拋物線上的一個動點(其中m>0,n>0,連接DP交BC于點E.
①當△BDE為等腰三角形時,接寫出此時點E的坐標.
②又連結CD、CP(如圖3),△CDP是否有較大面積?若有,求出△CDP的較大面積和此時點P的坐標;若沒有,請說明理由.
分析:通過三點確定了拋物線的解析式;在分析△BDE是等腰三角形時,要抓住等腰三角形的特征,分三種情況來討論,即BD=BE DB=DE,EB=ED時;結合等腰三角形的三線合一來解題.由于是求△CDP的較大面積,所以要與二次函數(shù)的較值問題聯(lián)系在一起,故要以△CDP的面積為因變量來建立二次函數(shù).
在此題中用到三角形相似對應線段成比例求出AO,BO的長這是一種在求解線段長度問題中比較常用的方法,再用二次函數(shù)交點式方程求出二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的表達式有三種要根據(jù)題意適當選擇方程,此外第二個題又考察了分類思想,較終較值問題又轉化為了二次函數(shù)的較值問題來求解。
2.雙動點與二次函數(shù)
例2,(2009年河南)如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,O)、C(8,0)、D(8,8)。拋物線過A、C兩點。
(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)動點P從點A出發(fā).沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發(fā),沿線段CD向終點D運動.速度均為每秒1個單位長度,運動時間為t秒.過點P作PEAB交AC于點E。
①過點E作EFAD于點F,交拋物線于點G.當t為何值時,線段EG較長?
②連接EQ,在點P、Q運動的過程中,判斷有幾個時刻使得△CEG是等腰二角形?請直接寫出相應的t值。
解(1)點A的坐標為(4,8).將A(4,8)、C(8,0)
評析:由矩形的性質可知A點的坐標,進一步求得二次函數(shù)的解析式,為以下各問埋下伏筆;隨著點P和點Q的運動,EF與拋物線的交點
G始終在點E的上方,故EG的長等于G的縱坐標與E的縱坐標之差且它們的橫坐標相同,所以可以建立二次函數(shù)來求較值。對于等腰三角形,根據(jù)P、Q兩點的運動分三種情況討論即可。
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二、單純的幾何圖形變化的動點問題
1.單動點的圖形變化
例:在平行四邊形ABCD中∠A=120°,E是BC上不與B點重合的點,AB=4,AD=3,過E作EF⊥AB于點F,交DC的延長線于點G,設,△DEF的面積為,求與之間的函數(shù)關系式。
分析:要求面積只需取某條線段為底,再找一條高,它們要么是常量要么是關于自變量的代數(shù)式,因此,以EF為底DG為高,求解。
(1)設運動時間為x,用含x的代數(shù)式表示AE和ED;
(2)如Q點在BD上移動;
(3)Q運動時能否與E、D夠成直角三角形,如能求出的值。
分析:(1)中求線段之間的關系常用的方法為比例線段和勾股定理,此處可用比例線段;
(2)中求三角形的面積同樣只需找底與高即可(底與高,可能為常量,也可能為含的代數(shù)式)DQ為底,PC為高;
(3)這是明顯的動中求靜的問題,可假設能夠成直角三角形,把各線段的長求出來,再用勾股定理求解,如有合題意的解,則說明能夠成直角三角形。
注意:到由于此題為雙動點問題,當點Q到C停止時,由于AB=BC,則點P到A也就停止了,因此只有一種情況,在此題中,求線段我們再次用到了比例線段求線段的長,分別表示出底和高之后,面積也就迎刃而解了。
通過以上例子,我們可以看到動態(tài)問題對孩子的綜合能力要求較高,解題方法靈活多變,其中所含的數(shù)學思想和方法豐富,有數(shù)型結合思想,方程思想,函數(shù)思想,分類討論思想,數(shù)學建模等思想方法?疾楹⒆永脛屿o結合、圖形變換的規(guī)律分析、解決問題的能力,有效地考查了考生觀察、猜想、歸納、驗證、推理等思維能力,要求孩子要會將問題各個時刻的圖形分類畫圖,由“動”變“靜”;還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置的等量關系和變量關系。同時考查了孩子的數(shù)學功底和探究心理。
動態(tài)問題在初中階段還有動面的問題主要考察平移,旋轉,和軸對稱,在此不做分析。
解決這類問題的關鍵在于如何在“靜中取動”或在“動中求靜”在“靜中求解”。
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